Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Arbeitsblatt 31

Übungsaufgaben

Aufgabe

Die Süddeutsche Zeitung schrieb am 10.3.2020 unter dem Titel „Die Wucht der großen Zahl“ (von Christian Endt, Michael Mainka und Sören Müller-Hansen):

„Um zu verstehen, warum das neue Coronavirus so gefährlich ist, muss man sich klarmachen, was exponentielles Wachstum bedeutet. Der Begriff ist etwas sperrig, das Konzept dahinter aber einfach. Es geht um eine Vermehrung, die sich ständig selbst beschleunigt. Und dieses Muster lässt sich auch beim Coronavirus erkennen. Das ist der Hintergrund, warum nun immer strengere Auflagen verhängt werden, Fußballspiele ohne Publikum ausgetragen, Feste und Kongresse abgesagt werden. Und warum Gesundheitsminister Jens Spahn, Kanzlerin Angela Merkel und andere davon sprechen, man müsse die Ausbreitung des Virus verlangsamen. Sprich: Verhindern, dass es sich exponentiell verbreitet.“

1. Beschleunigt sich lineares Wachstum „ständig selbst“?
2. Beschleunigt sich quadratisches Wachstum wie bei der Funktion  $f(x)=x^2$  „ständig selbst“?
3. Wie kann man exponentielles Wachstum charakterisieren?
4. Wenn man exponentielles Wachstum „verlangsamen“ möchte, verhindert man dann exponentielles Wachstum oder ändert man Parameter (welche?) für exponentielles Wachstum?

Aufgabe *

1. Es sei  $a>1$  und  $g(x)=a^x$  die Exponentialfunktion zur Basis $a$. Zeige, dass es ein  $w\in {ℝ}_{+}$  mit  $g(x+w)=2g(x)$  für alle  $x\in ℝ$  gibt.
2. Es sei  $w>0$  vorgegeben. Zeige, dass es eine Exponentialfunktion $b^x$ mit  $b>1$  und mit

   $b^{x+w}=2b^x$

   für alle  $x\in ℝ$  gibt.

3. Man gebe ein Beispiel für eine stetige, streng wachsende Funktion $f:ℝ\to ℝ$ mit  $f(x+1)=2f(x)$  für alle  $x\in ℝ$,  die keine Exponentialfunktion ist.

Aufgabe

Bestimme, für welche  $c,d\in ℝ$  die Differentialgleichung mit Verzögerung

$y^{\prime }(t)=c(y(t)-y(t-d))$

eine Lösung der Form

$y(t)=\alpha t+\beta$

besitzt.

Aufgabe

Finde alle Lösungen zur gewöhnlichen Differentialgleichung

$y^{\prime }=y.$

Aufgabe

Finde alle Lösungen zur gewöhnlichen Differentialgleichung

$y^{\prime }=cy.$

Kommentar:

Mit der Kurzschreibweise

$y^{\prime }=cy$

ist

$y^{\prime }(t)=cy(t)$

gemeint, dies ist eine Gleichung von zwei Funktionen, und das heißt, dass für jedes  $t\in ℝ$  die Gleichheit vorliegt. Dies ist eine Bedingung an eine bekannte oder unbekannte Funktion $y$, die von $t$ abhängt. Damit die linke Seite sinnvoll ist, muss die Funktion differenzierbar sein. Wenn man sich irgendwie eine Funktion vorgibt, so kann man einfach überprüfen, ob die Gleichung erfüllt ist. Eine „zufällig“ gewählte Funktion erfüllt nahezu nie die Bedingung. Wenn man etwa

$y(t)=\cos t$

nimmt, so steht links

$(\cos t)=-\sin t$

und das ist (egal was $c$ ist) nicht die rechte Seite.

Im Allgemeinen ist es schwer, eine Lösung zu finden, hier gibt es aber, wie in der Vorlesung erwähnt, die Lösung

$e^{ct}.$

Nach Satz 16.3 und der Kettenregel ist

$\left(e^{ct}\right)=c{e}^{ct}$

und das ist das $c$-fache der Funktion $e^{ct}$. Deshalb ist es eine Lösung. Der Nachweis, dass eine bestimmte Funktion die Differentialgleichung erfüllt, ist also zumeist einfach, man muss halt differenzieren können und dann die beiden Seiten vergleichen. Etwas allgemeiner als die eben hingeschriebene Lösung ist

$a{e}^{ct}$

mit einem  $a\in ℝ$,  aus dem gleichen Grund.

Von einem ganz anderen Schwierigkeitsgrad ist der Nachweis, dass jede Lösung einer Differentialgleichung von einer bestimmten Bauart ist.Hier gibt es einerseits Sätze, aus denen man das manchmal folgern kann, die wir aber jetzt noch nicht zur Verfügung haben. Oder man muss eben irgendwie eine Idee haben, wie man im vorliegenden Fall das direkt begründen kann. Wir behaupten, dass die Funktionen $a{e}^{ct}$ die einzigen Lösungen der vorliegenden Differentialgleichung sind. Wir müssen also zeigen, dass, wenn $y$ eine differenzierbare Funktion ist, die die Differentialgleichung erfüllt, und von der wir sonst gar nichts wissen, dann schon folgt, dass sie von der Form $a{e}^{ct}$ ist.

Dazu braucht man einen Trick. Allgemein: Wenn man zeigen möchte, dass zwei Funktionen $f$ und $g$ gleich sind, ist es oft geschickt zu zeigen, dass ihre Differenz $f-g$ gleich $0$ ist oder dass ihr Quotient $f/g$ gleich $1$ ist (wenn $g$ nullstellenfrei ist). Hier hat man nicht zwei Funktionen, sondern eine Funktion $y$ und die Funktionsklasse $a{e}^{ct}$, $a\in ℝ$. Der Trick mit dem Quotienten klappt hier aber. Man betrachtet die Hilfsfunktion

$y(t)\cdot e^{-ct},$

das Minuszeichen im Exponenten übernimmt die Rolle der Division durch $e^{ct}$. Die Funktion $y$ ist nicht bekannt, man kann mit ihr aber alles machen, was man mit Funktionen machen darf. Da $y$ nach Voraussetzung differenzierbar ist, ist auch dieses Produkt differenzierbar und nach der produktregel gilt

$\begin{array}{cc}(y(t)\cdot e^{-ct})& =y^{\prime }(t)\cdot e^{-ct}+y(t)\cdot \left(e^{-ct}\right)\\ & =y^{\prime }(t)\cdot e^{-ct}-cy(t)\cdot e^{-ct}\\ & =cy(t)\cdot e^{-ct}-cy(t)\cdot e^{-ct}\\ & =0,\end{array}$

zuletzt wurde die Voraussetzung an $y$ verwendet, dass es die Differentialgleichung erfüllt. Wir haben also eine differenzierbare Funktion, deren Ableitung gleich $0$ ist. Aus dem ersten Semester wissen wir, dass dann die Funktion konstant ist. Es gibt also ein  $a\in ℝ$  mit

$y(t)\cdot e^{-ct}=a.$

Multiplikation mit $e^{ct}$ ergibt

$y(t)=a{e}^{ct}.$

 

Aufgabe *

Löse das Anfangswertproblem

$y^{\prime }=2\text{ mit }y(5)=3.$

Aufgabe *

Löse das Anfangswertproblem

$y^{\prime }=3t^2-3t+4\text{ mit }y(-1)=-5.$

Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem

$y^{\prime }=3t^3-2t+5\text{ mit }y(3)=4.$

Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem

$y^{\prime }=\sin t\text{ mit }y(\pi )=7.$

Kommentar:

Hier ist zu erkennen, dass es sich um eine ortsunabhängige Differentialgleichung handelt. Daher ist dies direkt ein Integrationsproblem, es geht also einfach um die Stammfunktion des Sinus, und das ist bekanntlich das Negative des Kosinus, also gleich

$c-\cos t$

mit einer Konstanten $c$. Hier ist es optisch etwas besser, die Konstante vorne hinzuschreiben, da der Kosinus nicht darauf bezieht. Das Anfangswert führt somit auf die Bedingung

$c-\cos \pi =7,$

die einfach lösbar ist - man muss allerdings die Grundfunktionen gut beherrschen.

 

Aufgabe

Man mache sich anschaulich und mathematisch klar, dass bei einer ortsunabhängigen Differentialgleichung der Abstand zwischen zwei Lösungen $y_1$ und $y_2$ zeitunabhängig ist, d.h. dass $y_1(t)-y_2(t)$ konstant ist.

Man gebe ein Beispiel dafür, dass dies bei zeitunabhängigen Differentialgleichungen nicht der Fall sein muss.

Aufgabe

Untersuche die gewöhnlichen Differentialgleichungen, die sowohl zeit- als auch ortsunabhängig sind.

Aufgabe

Wie sieht der Graph einer Abbildung

$ℝ\times ℝ⟶ℝ$

aus, die nur von einer Variablen abhängt?

Aufgabe

Es sei  $I\subseteq ℝ$  ein Intervall und es sei

$D(I,ℝ)=\{f:I\to ℝ\mid f\text{ differenzierbar}\}$

die Menge der differenzierbaren Funktionen. Zeige, dass $D(I,ℝ)$ ein reeller Vektorraum ist und dass die Ableitung

$D(I,ℝ)⟶\mathrm{Abb}(I,ℝ),f⟼f^{\prime },$

eine lineare Abbildung ist. Bestimme den Kern dieser Abbildung und seine Dimension.

Aufgabe

Es sei

$D(ℝ,ℝ)=\{f:ℝ\to ℝ\mid f\text{ unendlich oft differenzierbar}\}$

die Menge der unendlich oft differenzierbaren Funktionen. Bestimme die Eigenwerte, die Eigenvektoren und die Dimension der Eigenräume der Ableitung

$D(ℝ,ℝ)⟶D(ℝ,ℝ),f⟼f^{\prime }.$

Kommentar:

Hier ist vielleicht auf den allerersten Blick gar nicht klar, was das mit Differentialgleichungen zu tun hat. Es werden Begriffe aus der linearen Algebra, insbesondere für lineare Abbildungen verwendet, obwohl doch Differentialgleichungen zur Analysis gehören. Der Punkt ist, dass wir es hier mit sogenannten Funktionenräumen zu tun haben, also unendlich dimensionalen reellen Vektorräumen, deren Elemente Funktionen sind. Man muss sich zuerst klar machen, wie hier die Vektorraumstruktur aussieht (siehe die vorstehende Aufgabe).

Es liegt eine Abbildung des Raumes in sich vor, also eine Abbildung von Abbildungen - das ist die normalste Sache der Welt (manchmal spricht man von einem Funktional .) Die Gesamtabbildung ordnet jeder unendlich oft differenzierbaren Funktion ihre Ableitungsfunktion zu. Zum Nachweis der Linearität muss man sich an einfache Ableitungsregeln erinnern, nämlich

$(af+bg{)}^{\prime }=a{f}^{\prime }+b{g}^{\prime }$

für reelle Zahlen  $a,b\in ℝ$  und differenzierbare Funktionen $f,g$, in Verbindung mit der eben erwähnten Vektorraumstruktur. Diese Gesamtabbildung ist also linear und es lassen sich die Konzepte für lineare Abbildung darauf anwenden. Allerdings kann diese Abbildung nicht durch eine Matrix beschrieben werden. Die Eigenwert- bzw. Eigenvektorbedingung lautet einfach (streng die Definition angewendet), ob es Funktionen $f$ und Zahlen $c$ mit

$f^{\prime }=cf$

gibt. Wenn man hier die Funktion mit $y$ bezeichnet, steht hier direkt eine Differentialgleichung. Die Antwort kennen wir schon, zu jedem reellen $c$ gibt es die Eigenfunktionen (so nennt man das) $a{e}^{ct}$ mit einem beliebigen  $a\in ℝ$.  Dies ist der gesamte Eigenraum (zur Erinnerung, bei  $a=0$  gehört es zum Eigenraum, ist aber kein Eigenvektor). Die Eigenräume sind also eindimensional. Hier ist also jede Zahl ein Eigenwert mit einem eindimensionalen Eigenraum.

 

Aufgabe

Finde die Lösungen für die gewöhnliche Differentialgleichung

$y^{\prime }=c{y}^{\frac{2}{3}}$

mit  $c\in {ℝ}_{+}$. 

Finde eine inhaltliche Interpretation zu dieser Differentialgleichung analog zu Beispiel 31.14.

Aufgabe

Zeige, dass $y(x)=x^n$ ($n\in {\mathbb{N}}_{+}$) eine Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung

$y^{\prime }=n{y}^{\frac{n-1}{n}}$

auf ${ℝ}_{+}$ ist.

Aufgabe *

a) Es sei

$f:ℝ\times ℝ⟶ℝ$

ein nullstellenfreies Vektorfeld, d.h.  $f(t,y)\ne 0$  für alle $(t,y)\in {ℝ}^2$. Zeige, dass jede Lösungskurve zur Differentialgleichung

$y^{\prime }=f(t,y)$

injektiv ist.

b) Es sei $f$ nun ein zeitunabhängiges Vektorfeld. Zeige, dass $f$ genau dann nullstellenfrei ist, wenn jede Lösungskurve injektiv ist.

c) Man gebe ein Beispiel für ein Vektorfeld, das nicht nullstellenfrei ist, für das aber jede Lösungskurve injektiv ist.

Aufgabe

Finde eine differenzierbare Funktion $y(t)$ (nicht die Nullfunktion), die die Bedingung

$y^{\prime }(t)=y(t-1)$

erfüllt (dabei ist $y(t-1)$ als der Wert der Funktion $y$ an der Stelle $t-1$ zu verstehen, nicht als das Produkt der Funktionsvariablen $y$ mit $t-1$; es handelt sich also nicht um eine Differentialgleichung).

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

$y^{\prime }=3t^2-4t+7\text{ mit }y(2)=5.$

Aufgabe (3 Punkte)

Finde eine Lösung zur gewöhnlichen Differentialgleichung

$y^{\prime }=y+t.$

Aufgabe (4 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

$y^{\prime }=\frac{t^3}{t^2+1}\text{ mit }y(1)=2.$

Aufgabe (4 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

$y^{\prime }(t)=\frac{1}{\sinh t}$

auf ${ℝ}_{+}$ mit der Anfangsbedingung  $y(1)=7$. 

Tipp: Man schreibe Sinus hyperbolicus mit der Exponentialfunktion, führe die Substitution  $s=e^t$  durch und finde so eine Stammfunktion.

Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass es zu jedem  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$  unendlich oft differenzierbare Funktionen

$f:ℝ⟶ℝ,x⟼f(x),$

derart gibt, dass die $n$-te Ableitung $f^{(n)}$ mit $f$ übereinstimmt, die Ableitungen $f^{(i)}$, $1\le i<n$, aber nicht.

Tipp=Denke an Potenzreihen.