Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Arbeitsblatt 51/latex

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\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt und es sei \maabbdisp {f} {M} {\R } {} eine \definitionsverweis {Funktion}{}{.} Es sei \maabb {h} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {streng wachsende}{}{} Funktion. Zeige, dass $f$ in $P$ genau dann ein \definitionsverweis {lokales Maximum}{}{} besitzt, wenn
\mathl{h \circ f}{} ein lokales Maximum in $P$ besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {L} {und} {M} {} \definitionsverweis {metrische Räume}{}{} und es sei \maabbdisp {\varphi} {L} {M } {} eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{.} Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(P) }
{ =} {Q }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und es sei \maabbdisp {f} {M} {\R } {} eine \definitionsverweis {Funktion}{}{,} die im Punkt
\mathl{Q \in M}{} ein \definitionsverweis {lokales Extremum}{}{} besitze. Zeige, dass
\mathdisp {f \circ \varphi} { }
in $P$ ein lokales Extremum besitzt.

}
{} {}





\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{.} Zeige, dass eine von $0$ verschiedene \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {f} {V} {\R } {} keine \definitionsverweis {lokalen Extrema}{}{} besitzt. Gilt dies auch für unendlichdimensionale Vektorräume? Braucht man dazu Differentialrechnung?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $f$ ein Polynom in zwei Variablen der Bauart
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x,y) }
{ =} { x^2+y^2 + \sum_{(r_1,r_2) \in \N^2,\, r_1+r_2 \geq 3} a_{(r_1,r_2)} x^{r_1}y^{r_2} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige ohne Differentialrechnung, dass $f$ im Nullpunkt ein \definitionsverweis {isoliertes lokales Minimum}{}{} besitzt. Bestimme in Abhängigkeit der Koeffizienten $a_{(r_1,r_2)}$ ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass die Einschränkung von $f$ auf $U { \left( 0,\epsilon \right) }$ außerhalb des Nullpunktes echt positiv ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Berechne den \definitionsverweis {Gradienten}{}{} der Funktion \maabbeledisp {f} {\R^3} {\R } {(x,y,z)} {x^2y-z^3xe^{xyz} } {,} in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ \R^3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}





\inputaufgabe
{}
{

Berechne den \definitionsverweis {Gradienten}{}{} der Funktion \maabbeledisp {f} {G} {\R } {(x,y,z)} { { \frac{ xyz-z^2 }{ \ln (xy) +z^2 } } } {,} in jedem Punkt
\mathl{P \in G}{} mit
\mathl{G=\R_{> 1} \times \R_{> 1} \times \R}{}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten Dreiecke mit den beiden fixierten Eckpunkten \mathkor {} {(-1,0)} {und} {(1,0)} {} und dem variablen Eckpunkt
\mathl{(x,y)}{.} \aufzaehlungvier{Erstelle eine Formel für den Flächeninhalt des Dreieckes mit den Eckpunkten
\mathl{(-1,0), (1,0), (x,y)}{.} }{Erstelle eine Formel für den Umfang des Dreieckes mit den Eckpunkten
\mathl{(-1,0), (1,0), (x,y)}{.} }{In welche Richtung muss man den dritten Punkt
\mathl{(x,y)}{} bewegen, damit der Flächeninhalt möglichst schnell wächst? }{In welche Richtung muss man den dritten Punkt
\mathl{(x,y)}{} bewegen, damit der Umfang möglichst schnell wächst? }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $(V, \left\langle - , - \right\rangle)$ ein \definitionsverweis {euklidischer}{}{} \definitionsverweis {Vektorraum}{}{,}
\mathl{G \subseteq V}{} eine \definitionsverweis {offene Menge}{}{,}
\mathl{P \in G}{} ein Punkt und \maabbdisp {f} {G} {\R } {} eine in $P$ \definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{.} Zeige, dass \mathkor {} {f} {und} {\left(Df\right)_{P}} {} im Punkt $P$ den gleichen \definitionsverweis {Gradienten}{}{} besitzen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $(V, \left\langle - , - \right\rangle)$ ein \definitionsverweis {euklidischer}{}{} \definitionsverweis {Vektorraum}{}{,}
\mathl{G \subseteq V}{} eine \definitionsverweis {offene Menge}{}{,}
\mathl{P \in G}{} ein Punkt und \maabbdisp {f} {G} {\R } {} eine in $P$ \definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{.} Zeige, dass ein Vektor
\mathl{v \in V}{} genau dann zum \definitionsverweis {Kern}{}{} von
\mathl{\left(Df\right)_{P}}{} gehört, wenn er \definitionsverweis {orthogonal}{}{} zum \definitionsverweis {Gradienten}{}{}
\mathl{\operatorname{Grad} \, f ( P )}{} ist.

}
{} {}





\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {kritischen Punkte}{}{} der Funktion \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {x^2+y^2 } {.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {kritischen Punkte}{}{} der Funktion \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {xy^2-x } {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {kritischen Punkte}{}{} der Funktion \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {x^2y-y^2+x } {.}

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{4}
{

Berechne den Anstieg der Funktion \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {x^2y-x+y^3 } {,} im Punkt
\mathl{P=(1,1)}{} in Richtung des Winkels
\mathl{\alpha \in [0, 2 \pi]}{.} Für welchen Winkel ist der Anstieg maximal?

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{

Betrachte die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R^3} {\R } {(x,y,z)} {x+ \sin \left( y \right)-xz } {.} \aufzaehlungdrei{Bestimme den \definitionsverweis {Gradienten}{}{} $G$ von $f$ im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ = }{ (0,0,0) }
{ \in }{ \R^3 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} bezüglich des \definitionsverweis {Standardskalarprodukts}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} }{Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ E }
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \mid 2x-y+3z = 0 \right\} } }
{ \subseteq} { \R^3 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g }
{ = }{ f {{|}}_E }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Einschränkung}{}{} von $f$ auf $E$. Bestimme den Gradienten $\tilde{G}$ von
\mathl{g}{} bezüglich der Einschränkung des Standardskalarprodukts auf $E$. }{Zeige, dass $\tilde{G}$ die \definitionsverweis {orthogonale Projektion}{}{} von $G$ auf $E$ ist. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme die \definitionsverweis {kritischen Punkte}{}{} der Funktion \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {xy^3-xy+ \sin y } {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{

Bestimme die \definitionsverweis {kritischen Punkte}{}{} zur Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x,y) }
{ =} {x^4+y^4+2x^2y^2-6y^3-6x^2y+8y^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} aus Beispiel 51.5.

}
{} {}