Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Arbeitsblatt 51

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ein metrischer Raum, ein Punkt und es sei

eine Funktion. Es sei eine streng wachsende Funktion. Zeige, dass in genau dann ein lokales Maximum besitzt, wenn ein lokales Maximum in besitzt.


Aufgabe

Es seien und metrische Räume und es sei

eine stetige Abbildung. Es sei

und es sei

eine Funktion, die im Punkt ein lokales Extremum besitze. Zeige, dass

in ein lokales Extremum besitzt.


Aufgabe

Sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Zeige, dass eine von verschiedene lineare Abbildung

keine lokalen Extrema besitzt. Gilt dies auch für unendlichdimensionale Vektorräume? Braucht man dazu Differentialrechnung?


Aufgabe *

Es sei ein Polynom in zwei Variablen der Bauart

Zeige ohne Differentialrechnung, dass im Nullpunkt ein isoliertes lokales Minimum besitzt. Bestimme in Abhängigkeit der Koeffizienten ein derart, dass die Einschränkung von auf außerhalb des Nullpunktes echt positiv ist.


Aufgabe

Berechne den Gradienten der Funktion

in jedem Punkt .


Aufgabe

Berechne den Gradienten der Funktion

in jedem Punkt mit


Aufgabe *

Wir betrachten Dreiecke mit den beiden fixierten Eckpunkten und und dem variablen Eckpunkt .

  1. Erstelle eine Formel für den Flächeninhalt des Dreieckes mit den Eckpunkten .
  2. Erstelle eine Formel für den Umfang des Dreieckes mit den Eckpunkten .
  3. In welche Richtung muss man den dritten Punkt bewegen, damit der Flächeninhalt möglichst schnell wächst?
  4. In welche Richtung muss man den dritten Punkt bewegen, damit der Umfang möglichst schnell wächst?


Aufgabe

Es sei ein euklidischer Vektorraum, eine offene Menge, ein Punkt und

eine in differenzierbare Funktion. Zeige, dass und im Punkt den gleichen Gradienten besitzen.


Aufgabe

Es sei ein euklidischer Vektorraum, eine offene Menge, ein Punkt und

eine in differenzierbare Funktion. Zeige, dass ein Vektor genau dann zum Kern von gehört, wenn er orthogonal zum Gradienten ist.


Aufgabe

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion


Aufgabe *

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion


Aufgabe

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne den Anstieg der Funktion

im Punkt in Richtung des Winkels . Für welchen Winkel ist der Anstieg maximal?


Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte die Funktion

  1. Bestimme den Gradienten von im Punkt bezüglich des Standardskalarprodukts .
  2. Es sei

    und es sei die Einschränkung von auf . Bestimme den Gradienten von bezüglich der Einschränkung des Standardskalarprodukts auf .

  3. Zeige, dass die orthogonale Projektion von auf ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die kritischen Punkte zur Funktion

aus Beispiel 51.5.



<< | Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)