Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Arbeitsblatt 51
- Übungsaufgaben
Es sei ein metrischer Raum, ein Punkt und es sei
eine Funktion. Es sei eine streng wachsende Funktion. Zeige, dass in genau dann ein lokales Maximum besitzt, wenn ein lokales Maximum in besitzt.
Es seien und metrische Räume und es sei
eine stetige Abbildung. Es sei
und es sei
eine Funktion, die im Punkt ein lokales Extremum besitze. Zeige, dass
in ein lokales Extremum besitzt.
Kommentar:
Hier haben wir eine typische Beweisaufgabe, in der mathematische Objekte mit speziellen Eigenschaften gegeben sind und daraus soll die Eigenschaft eines weiteren im Zusammenhang stehenden Objektes gezeigt werden. Konkret, wir haben eine stetige Abbildung und eine Funktion mit einem lokalen Extremum im Punkt . Jetzt soll gezeigt werden, dass das lokale Extremum erhalten bleibt, nachdem in eingesetzt wird. Dann aber, wegen der Verknüpfung, in dem Punkt , der durch zum ursprünglichen Punkt des lokalen Extremums "geschickt" wird.
Die Eigenschaft, dass stetig ist, ist dabei natürlich entscheidend. Nehmen wir uns hierfür als Beispiel eine einfache reelle Funktion mit Ableitung . Diese hat ein lokales Minimum (dies ist kein globales Minimum, ein Plot der Funktion ist hilfreich) in
mit Wert . Wählen wir nun
als eindeutig nicht stetige Funktion, sehen wir, dass diese in eingesetzt
ergibt. Diese Funktion hat gewiss kein lokales Extremum mehr in , dem Punkt der auf das lokale Extremum von geschickt wurde.
Zum Beweis der Aussage in der Aufgabenstellung sammlen wir die Eigenschaften. Dass stetig ist, bedeutet, dass es in jedem Punkt stetig ist. Somit insbesondere im Punkt . Das wiederum heißt, für jedes existiert ein , sodass
Mit Worten, in einer Umbebung von bleiben wir nach Abbilden mit in einer Umgebung von . Weiterhin hat die Funktion in ein lokales Extremum
(wir nehmen ohne Einschränkung an, dass dies ein lokales Minimum ist, für ein Maximum geht das genau so), d.h. es exisitert ein mit
Mit Worten, in einer Umgebung von ist der Funktionswert von immer größer oder gleich dem Funktionswert in selbst.
Jetzt ist die Frage, ob die Verknüpfung ein lokales Minimum in besitzt, also ein existiert mit
Es wäre also gut, wenn garantiert, dass wir von in landen, denn dann nutzen dass in das lokale Minimum hat. Das erledigt die Stetigkeit von . Wie kann dann gewählt werden?
Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Zeige, dass eine von verschiedene lineare Abbildung
keine lokalen Extrema besitzt. Gilt dies auch für unendlichdimensionale Vektorräume? Braucht man dazu Differentialrechnung?
Es sei ein Polynom in zwei Variablen der Bauart
Zeige ohne Differentialrechnung, dass im Nullpunkt ein isoliertes lokales Minimum besitzt. Bestimme in Abhängigkeit der Koeffizienten ein derart, dass die Einschränkung von auf außerhalb des Nullpunktes echt positiv ist.
Kommentar:
Zur Wiederholung, der Gradient gehört nach Definition 51.6 zu einer differenzierbaren Funktion
die von einer offenen Teilmenge eines euklidischen Vektorraums in die reellen Zahlen abbildet. Euklidisch ist wichtig, da wir dann ein Skalarprodukt haben und somit das total Differential zu einem festen Punkt (welches eine lineare Funktion von nach ist, siehe die Definition 51.6) mit Hilfe eines eindeutigen Vektors und des Skalarproduktes darstellen lässt. Das heißt es gibt ein , sodass wir für alle
haben. Der Vektor wird dann Gradient (zum gewählten Skalarprodukt) genannt.
In dieser Aufgabe ist nicht erwähnt, welches Skalarprodukt verwendet werden soll, deshalb gehen wir von dem Standardskalarprodukt aus. Das totale Differential von ist bezüglich der Standardbasis in nach Satz 48.11 gegeben durch
Die partiellen Ableitungen müssen noch berechnet werden, das bleibt Übung. Es ist ein Zeilenvektor, der (als Matrix mit einer Zeile aufgefasst) die lineare Abbildung des totalen Differentials in der Standardbasis repräsentiert. Das totale Differential wirkt demnach auf einen Vektor im , als Spaltenvektor aufgefasst, durch die übliche Zeile-mal-Spalte Matrix-Vektor-Multiplikation. Dies ist aber nichts anderes als das Standardskalarprodukt des totalen Differentials und des Vektors . Deswegen ist in diesem Fall der Gradient schon der Zeilenvektor des totalen Differentials als Element im aufgefasst,
Wir betrachten Dreiecke mit den beiden fixierten Eckpunkten und und dem variablen Eckpunkt .
- Erstelle eine Formel für den Flächeninhalt des Dreieckes mit den Eckpunkten .
- Erstelle eine Formel für den Umfang des Dreieckes mit den Eckpunkten .
- In welche Richtung muss man den dritten Punkt bewegen, damit der Flächeninhalt möglichst schnell wächst?
- In welche Richtung muss man den dritten Punkt bewegen, damit der Umfang möglichst schnell wächst?
Es sei ein euklidischer Vektorraum, eine offene Menge, ein Punkt und
eine in differenzierbare Funktion. Zeige, dass und im Punkt den gleichen Gradienten besitzen.
Es sei ein euklidischer Vektorraum, eine offene Menge, ein Punkt und
eine in differenzierbare Funktion. Zeige, dass ein Vektor genau dann zum Kern von gehört, wenn er orthogonal zum Gradienten ist.
Kommentar:
Auf den ersten Blick scheint dies vielleicht eine schwierige Beweisaufgabe zu sein. Aber wenn die Definitionen und Eigenschaften der beteiligten mathematischen Objekte klar sind, ist das ganze nur noch halb so wild.
Ein Vektor soll zum Kern vom totalen Differntial von im Punkt gehören. Das totale Differential ist eine lineare Abbildung von nach und der Kern von ist die Menge aller Elemente aus die durch auf Null abgebildet werden.
ist der Gradient von im Punkt und hängt, wie wir gelernt haben, stark mit dem obigen totalen Differential zusammen. Er ist ein Vektor im Vektorraum und zwar genau der eindeutige Vektor, der es erlaubt, das totale Differential mit Hilfe des gewählten oder gegebenen Skalarproduktes auszudrücken. Das heißt es gilt
für alle .
Mit Hilfe dieser Darstellung kann nun der Zusammenhang zwischen ist im Kern von und der Orthogonalität zum Gradienten bezüglich des Skalarproduktes hergestellt werden.
Bestimme die kritischen Punkte der Funktion
Bestimme die kritischen Punkte der Funktion
Bestimme die kritischen Punkte der Funktion
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)
Berechne den Anstieg der Funktion
im Punkt in Richtung des Winkels . Für welchen Winkel ist der Anstieg maximal?
Aufgabe (5 Punkte)
Betrachte die Funktion
- Bestimme den Gradienten von im Punkt bezüglich des Standardskalarprodukts .
- Es sei
und es sei die Einschränkung von auf . Bestimme den Gradienten von bezüglich der Einschränkung des Standardskalarprodukts auf .
- Zeige, dass die orthogonale Projektion von auf ist.
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme die kritischen Punkte der Funktion
Aufgabe (5 Punkte)
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