Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Arbeitsblatt 56/latex

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\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}


Es sei \maabbeledisp {f} { L} { M } {x} {f(x) } {,} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{} zwischen den \definitionsverweis {metrischen Räumen}{}{} \mathkor {} {L} {und} {M} {.} Die Abbildung heißt \definitionswort {Lipschitz-stetig}{,} wenn es eine \definitionsverweis {reelle Zahl}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c }
{ \geq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d { \left( f(x), f(y) \right) } }
{ \leq} { c \cdot d { \left( x, y \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x,y }
{ \in }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.





\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Betragsfunktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} { \betrag { x } } {,} \definitionsverweis {Lipschitz-stetig}{}{} mit \definitionsverweis {Lipschitz-Konstante}{}{} $1$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabb {\varphi} {V} {W } {} zwischen \definitionsverweis {euklidischen Vektorräumen}{}{} \definitionsverweis {Lipschitz-stetig}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I }
{ \subseteq }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {reelles Intervall}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Menge}{}{} und \maabbeledisp {f} {I\times U} {V } {(t,v)} {f(t,v) } {,} ein \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} auf $U$. Zeige die folgenden Aussagen.

a) Wenn $f$ \zusatzklammer {als Abbildung} {} {} \definitionsverweis {Lipschitz-stetig}{}{} ist, so genügt das Vektorfeld einer \definitionsverweis {Lipschitz-Bedingung}{}{.}

b) Wenn das Vektorfeld einer Lipschitz-Bedingung genügt, so sind für jedes feste
\mathl{t \in I}{} die Abbildungen \maabbeledisp {} {U} {V } {v} {f(t,v) } {,} Lipschitz-stetig.

c) Man gebe Beispiele, die zeigen, dass die Implikationen aus a) und b) nicht umkehrbar sind.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {I \times U} {V } {} ein \definitionsverweis {stetiges}{}{} \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{,} das auf einer \definitionsverweis {offenen Menge}{}{}
\mathl{U \subseteq V}{} eines \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} \definitionsverweis {reellen Vektorraums}{}{} definiert sei und \definitionsverweis {lokal einer Lipschitz-Bedingung}{}{} genüge. Es sei
\mathl{W \subseteq V}{} ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} mit der Eigenschaft, dass für alle
\mathl{t \in I}{} und
\mathl{P \in U \cap W}{} die Beziehung
\mathl{f(t,P) \in W}{} gilt. Zeige, dass eine \definitionsverweis {Lösung des Anfangswertproblems}{}{}
\mathdisp {v'=f(t,v) \text{ mit } v(t_0)=w \in U \cap W} { }
ganz in $W$ verläuft.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Löse das Anfangswertproblem
\mathdisp {y^{\prime} = y+1 \text{ mit } y(0)=0} { . }
mit der \definitionsverweis {Picard-Lindelöf-Iteration}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme für das Anfangswertproblem
\mathdisp {y^{\prime} = y \text{ mit } y(0)=1} { }
explizite Formeln für die \definitionsverweis {Picard-Lindelöf-Iterationen}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme in Beispiel 56.7 eine explizite Formel für die Iterationen $\varphi_n$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die ersten drei Iterationen in der \definitionsverweis {Picard-Lindelöf-Iteration}{}{} für die \definitionsverweis {gewöhnliche Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y' }
{ =} {y^2+t+yt^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit der Anfangsbedingung
\mathl{y(0)=0}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die ersten drei Iterationen in der \definitionsverweis {Picard-Lindelöf-Iteration}{}{} für die \definitionsverweis {lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' }
{ =} { \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit der Anfangsbedingung \mathkor {} {x(0)=2} {und} {y(0)=-7} {.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die ersten drei Iterationen in der \definitionsverweis {Picard-Lindelöf-Iteration}{}{} für die \definitionsverweis {lineare gewöhnliche Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' }
{ =} { \begin{pmatrix} t & 3 \\ 1 & t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit der Anfangsbedingung \mathkor {} {x(0)= 0} {und} {y(0)=1} {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die ersten vier Iterationen in der \definitionsverweis {Picard-Lindelöf-Iteration}{}{} für die \definitionsverweis {lineare gewöhnliche Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' }
{ =} { \begin{pmatrix} -t & t^2 \\ 2 & t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit der Anfangsbedingung \mathkor {} {x(0)=1} {und} {y(0)=-1} {.}

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{4}
{

Wir betrachten das \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {f} {\R \times \R^2} {\R^2 } {(t,u,v)} {(t^2uv,u^2-tv^2) } {.} Bestimme für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die nicht-\definitionsverweis {regulären}{}{} Punkte des Vektorfeldes \maabbeledisp {f_t} {\R^2} {\R^2 } {(u,v)} {(t^2uv,u^2-tv^2) } {.} Welche Ortspunkte sind zu keinem Zeitpunkt regulär?

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Löse das \definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {v'=f(t,v) \text{ und } v(1)= (3,2,6)} { }
zum \definitionsverweis {ortsunabhängigen Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {f} {\R \times \R^3} {\R^3 } {(t,x,y,z)} { t^3(3,1,4)-e^{-2t}(2,-1,7)+(t-t^2 e^t )(0,4,5)+(2,2,2) } {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme die ersten vier Iterationen in der \definitionsverweis {Picard-Lindelöf-Iteration}{}{} für die \definitionsverweis {lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' }
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit der Anfangsbedingung \mathkor {} {x(0)=4} {und} {y(0)=5} {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{

Bestimme die ersten vier Iterationen in der \definitionsverweis {Picard-Lindelöf-Iteration}{}{} für die \definitionsverweis {lineare gewöhnliche Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' }
{ =} { \begin{pmatrix} t^2 & -1 \\ t & t^3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit der Anfangsbedingung \mathkor {} {x(0)=1} {und} {y(0)=1} {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Wir betrachten das \definitionsverweis {zeitunabhängige Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {v} {3 v^{2/3} = 3 \sqrt[3]{v^2} } {.} Zeige direkt, dass dieses \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist, aber nicht \definitionsverweis {lokal einer Lipschitz-Bedingung}{}{} genügt.

}
{} {}