Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Arbeitsblatt 56

Übungsaufgaben

Es sei

$f\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),$

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen ${}L$ und ${}M$. Die Abbildung heißt Lipschitz-stetig, wenn es eine reelle Zahl ${}c\geq 0$ mit

${}d{\left(f(x),f(y)\right)}\leq c\cdot d{\left(x,y\right)}\,$

für alle ${}x,y\in L$ gibt.

Aufgabe

Zeige, dass die Betragsfunktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \vert {x}\vert ,$

Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante ${}1$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass eine lineare Abbildung ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ zwischen euklidischen Vektorräumen Lipschitz-stetig ist.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, ${}U\subseteq V$ eine offene Menge und

$f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$

ein Vektorfeld auf ${}U$. Zeige die folgenden Aussagen.

a) Wenn ${}f$ (als Abbildung) Lipschitz-stetig ist, so genügt das Vektorfeld einer Lipschitz-Bedingung.

b) Wenn das Vektorfeld einer Lipschitz-Bedingung genügt, so sind für jedes feste ${}t\in I$ die Abbildungen

$U\longrightarrow V,\,v\longmapsto f(t,v),$

Lipschitz-stetig.

c) Man gebe Beispiele, die zeigen, dass die Implikationen aus a) und b) nicht umkehrbar sind.

Aufgabe

Es sei

$f\colon I\times U\longrightarrow V$

ein stetiges Vektorfeld, das auf einer offenen Menge ${}U\subseteq V$ eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums definiert sei und lokal einer Lipschitz-Bedingung genüge. Es sei ${}W\subseteq V$ ein Untervektorraum mit der Eigenschaft, dass für alle ${}t\in I$ und ${}P\in U\cap W$ die Beziehung ${}f(t,P)\in W$ gilt. Zeige, dass eine Lösung des Anfangswertproblems

$v'=f(t,v){\text{ mit }}v(t_{0})=w\in U\cap W$

ganz in ${}W$ verläuft.

Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem

$y^{\prime }=y+1{\text{ mit }}y(0)=0.$

mit der Picard-Lindelöf-Iteration.

Aufgabe *

Bestimme für das Anfangswertproblem

$y^{\prime }=y{\text{ mit }}y(0)=1$

explizite Formeln für die Picard-Lindelöf-Iterationen.

Aufgabe

Bestimme in Beispiel 56.7 eine explizite Formel für die Iterationen ${}\varphi _{n}$.

Aufgabe *

Bestimme die ersten drei Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die gewöhnliche Differentialgleichung

${}y'=y^{2}+t+yt^{2}\,$

mit der Anfangsbedingung ${}y(0)=0$.

Aufgabe *

Bestimme die ersten drei Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}-1&3\\2&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,$

mit der Anfangsbedingung ${}x(0)=2$ und ${}y(0)=-7$.

Aufgabe *

Bestimme die ersten drei Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}t&3\\1&t\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,$

mit der Anfangsbedingung ${}x(0)=0$ und ${}y(0)=1$.

Aufgabe

Bestimme die ersten vier Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}-t&t^{2}\\2&t\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,$

mit der Anfangsbedingung ${}x(0)=1$ und ${}y(0)=-1$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten das Vektorfeld

$f\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(t,u,v)\longmapsto (t^{2}uv,u^{2}-tv^{2}).$

Bestimme für jedes ${}t\in \mathbb {R}$ die nicht-regulären Punkte des Vektorfeldes

$f_{t}\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(u,v)\longmapsto (t^{2}uv,u^{2}-tv^{2}).$

Welche Ortspunkte sind zu keinem Zeitpunkt regulär?

Aufgabe (4 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

$v'=f(t,v){\text{ und }}v(1)=(3,2,6)$

zum ortsunabhängigen Vektorfeld

$f\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(t,x,y,z)\longmapsto t^{3}(3,1,4)-e^{-2t}(2,-1,7)+(t-t^{2}e^{t})(0,4,5)+(2,2,2).$

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die ersten vier Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,$

mit der Anfangsbedingung ${}x(0)=4$ und ${}y(0)=5$.

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die ersten vier Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}t^{2}&-1\\t&t^{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,$

mit der Anfangsbedingung ${}x(0)=1$ und ${}y(0)=1$.

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten das zeitunabhängige Vektorfeld

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,v\longmapsto 3v^{2/3}=3{\sqrt[{3}]{v^{2}}}.$

Zeige direkt, dass dieses Vektorfeld stetig ist, aber nicht lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt.