Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Arbeitsblatt 56

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Übungsaufgaben


Es sei

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen und . Die Abbildung heißt Lipschitz-stetig, wenn es eine reelle Zahl mit

für alle gibt.


Aufgabe

Zeige, dass die Betragsfunktion

Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante ist.


Aufgabe

Zeige, dass eine lineare Abbildung zwischen euklidischen Vektorräumen Lipschitz-stetig ist.


Aufgabe

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ein reelles Intervall, eine offene Menge und

ein Vektorfeld auf . Zeige die folgenden Aussagen.

a) Wenn (als Abbildung) Lipschitz-stetig ist, so genügt das Vektorfeld einer Lipschitz-Bedingung.

b) Wenn das Vektorfeld einer Lipschitz-Bedingung genügt, so sind für jedes feste die Abbildungen

Lipschitz-stetig.

c) Man gebe Beispiele, die zeigen, dass die Implikationen aus a) und b) nicht umkehrbar sind.


Aufgabe

Es sei

ein stetiges Vektorfeld, das auf einer offenen Menge eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums definiert sei und lokal einer Lipschitz-Bedingung genüge. Es sei ein Untervektorraum mit der Eigenschaft, dass für alle und die Beziehung gilt. Zeige, dass eine Lösung des Anfangswertproblems

ganz in verläuft.


Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem

mit der Picard-Lindelöf-Iteration.


Aufgabe *

Bestimme für das Anfangswertproblem

explizite Formeln für die Picard-Lindelöf-Iterationen.


Aufgabe

Bestimme in Beispiel 56.7 eine explizite Formel für die Iterationen .


Aufgabe *

Bestimme die ersten drei Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die gewöhnliche Differentialgleichung

mit der Anfangsbedingung .


Aufgabe *

Bestimme die ersten drei Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

mit der Anfangsbedingung und .


Aufgabe *

Bestimme die ersten drei Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung

mit der Anfangsbedingung und .


Aufgabe

Bestimme die ersten vier Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung

mit der Anfangsbedingung und .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten das Vektorfeld

Bestimme für jedes die nicht-regulären Punkte des Vektorfeldes
Welche Ortspunkte sind zu keinem Zeitpunkt regulär?


Aufgabe (4 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

zum ortsunabhängigen Vektorfeld


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die ersten vier Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

mit der Anfangsbedingung und .


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die ersten vier Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung

mit der Anfangsbedingung und .


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten das zeitunabhängige Vektorfeld

Zeige direkt, dass dieses Vektorfeld stetig ist, aber nicht lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt.



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