Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Teil I/Arbeitsblatt 12/latex
\setcounter{section}{12}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne die ersten fünf Glieder des
\definitionsverweis {Cauchy-Produkts}{}{}
der beiden
\definitionsverweis {konvergenten Reihen}{}{}
\mathdisp {\sum_{n=1}^\infty { \frac{ 1 }{ n^2 } } \text{ und } \sum_{n=1}^\infty { \frac{ 1 }{ n^3 } }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man mache sich klar, dass die \definitionsverweis {Partialsummen}{}{} des \definitionsverweis {Cauchy-Produkts}{}{} von zwei \definitionsverweis {Reihen}{}{} nicht das Produkt der Partialsummen der beiden Reihen sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {\sum _{ n= 0}^\infty a_n x^{ n }} {und} {\sum _{ n= 0}^\infty b_n x^{ n }} {}
zwei
\definitionsverweis {absolut konvergente}{}{}
\definitionsverweis {Potenzreihen}{}{} in $x \in \R$. Zeige, dass das
\definitionsverweis {Cauchy-Produkt}{}{}
der beiden Reihen durch
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty c_n x^{ n } \text{ mit } c_n = \sum_{i=0}^{n} a_i b_{n-i}} { }
gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathbed {x \in \R} {,}
{\betrag { x } <1} {}
{} {} {} {.}
Bestimme
\zusatzklammer {in Abhängigkeit von $x$} {} {}
die
\definitionsverweis {Summen}{}{}
der beiden
\definitionsverweis {Reihen}{}{}
\mathdisp {\sum_{k=0 }^\infty x^{2k} \text{ und } \sum_{k=0 }^\infty x^{2k+1}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty a_n x^{ n }} { }
eine
\definitionsverweis {absolut konvergente}{}{}
\definitionsverweis {Potenzreihe}{}{.} Bestimme die Koeffizienten $c_i$ zu den Potenzen
\mathl{x^0,x^1,x^2,x^3,x^4}{} in der dritten Potenz
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum _{ n= 0}^\infty c_n x^{ n }
}
{ =} { { \left( \sum _{ n= 0}^\infty a_n x^{ n } \right) }^3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten das Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} {1+X + { \frac{ 1 }{ 2 } } X^2 +{ \frac{ 1 }{ 6 } } X^3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Berechne die Werte von $P$ an den Stellen
\mathl{-2,-1,0,1,2}{.}
}{Skizziere den Graphen von $P$ auf dem Intervall
\mathl{[-2,2]}{.} Gibt es einen Bezug zur Exponentialfunktion $e^x$?
}{Bestimme eine Nullstelle von $P$ innerhalb von
\mathl{[-2,2]}{} mit einem Fehler von maximal
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 4 } }}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne von Hand die ersten vier Nachkommastellen im Zehnersystem von
\mathdisp {\exp 1} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige die folgenden Abschätzungen.
a)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \binom { n } { k } \cdot { \frac{ 1 }{ n^k } }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ k! } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
b)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( 1 + { \frac{ 1 }{ n } } \right) }^n
}
{ \leq} { \sum_{k = 0}^n { \frac{ 1 }{ k! } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $b$ eine
\definitionsverweis {positive}{}{}
\definitionsverweis {reelle Zahl}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{}
\maabbeledisp {f} {\R} {\R
} {x} {b^x
} {,}
folgende Eigenschaften besitzt.
\aufzaehlungacht{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b^{x+x'}
}
{ = }{ b^x \cdot b^{x'}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x,x'
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b^{-x}
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ b^x } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ > }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b^x
}
{ > }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ < }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b^x
}
{ < }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ > }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist $f$
\definitionsverweis {streng wachsend}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ < }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist $f$
\definitionsverweis {streng fallend}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (b^{x})^{x'}
}
{ = }{ b^{ x \cdot x'}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x,x'
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (ab)^x
}
{ = }{ a^x \cdot b^x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
$\neq 0$, die die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x+y)
}
{ =} { f(x) \cdot f(y)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erfüllt. Zeige, dass $f$ eine Exponentialfunktion ist, d.h. dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{b^x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine \definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R} {\R_+ } {x} {b^x } {,} aus einem \definitionsverweis {arithmetischen Mittel}{}{} ein \definitionsverweis {geometrisches Mittel}{}{} macht.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {a^x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \neq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definiert die Gerade durch die beiden Punkte
\mathkor {} {(x,f(x))} {und} {(x+1,f(x+1))} {}
einen Schnittpunkt mit der $x$-Achse, den wir mit
\mathl{s(x)}{} bezeichnen. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s(x+1)
}
{ =} {s(x) +1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Skizziere die Situation.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel einer stetigen, streng wachsenden Funktion
\maabbdisp {f} {\R} {\R_+
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(0)
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x+1)
}
{ = }{ 2f(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die von
\mathl{2^x}{} verschieden ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{} von zwei \definitionsverweis {Exponentialfunktionen}{}{} keine Exponentialfunktion sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
fixiert. Zeige, dass die Potenzfunktion
\maabbeledisp {f} {\R_+} {\R
} {x} {x^u
} {,}
\definitionsverweis {stetig}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $b$ eine positive reelle Zahl und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ = }{ n/m
}
{ \in }{ \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ b^q
}
{ \defeq} { { \left( b^n \right) }^{1/m}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definierte Zahl unabhängig von der Bruchdarstellung für $q$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ = }{ { \frac{ r }{ s } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {rationale Zahl}{}{.}
Zeige, dass die Schreibweise
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a^q
}
{ =} {\sqrt[s]{a^r}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der Definition
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a^q
}
{ =} { \exp (q \ln a )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
verträglich ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne
\mathdisp {2^{ { \frac{ 9 }{ 10 } } }} { }
bis auf einen Fehler von
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 10 } }}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne
\mathdisp {5^{ { \frac{ 3 }{ 7 } } }} { }
bis auf einen Fehler von
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 10 } }}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Vergleiche die beiden Zahlen
\mathdisp {\sqrt{3}^{ - { \frac{ 9 }{ 4 } } } \text{ und } \sqrt{3}^{- \sqrt{5} }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Vergleiche die drei Zahlen
\mathdisp {2^{\sqrt{3} }, \, 4,\, 3^{\sqrt{2} }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b,d
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $d$ fixiert. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ b \rightarrow 0 } \, b^d
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
fixiert. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ d \rightarrow 0 } \, b^d
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Entscheide, ob die
\definitionsverweis {reelle Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ =} { { \frac{ 5n^{ \frac{ 3 }{ 2 } } +4 n^{ \frac{ 4 }{ 3 } } +n }{ 7n^{ \frac{ 5 }{ 3 } } +6 n^{ \frac{ 3 }{ 2 } } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {mit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ n
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
in $\R$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
und bestimme gegebenenfalls den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Logarithmen zur Basis}{}{} $b$ die folgenden Rechenregeln erfüllen.
\aufzaehlungvier{Es ist
\mathkor {} {\log_b { \left( b^x \right) } =x} {und} {b^{\log_b(y)} =y} {,}
das heißt der Logarithmus zur Basis b ist die Umkehrfunktion zur
\definitionsverweis {Exponentialfunktion zur Basis}{}{} $b$.
}{Es gilt
\mathl{\log_{ b } (y \cdot z) = \log_{ b } y + \log_{ b } z}{}
}{Es gilt
\mathl{\log_{ b } y^u = u \cdot \log_{ b } y}{} für
\mathl{u \in \R}{.}
}{Es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\log_{ a } y
}
{ =} { \log_{ a } { \left( b^{ \log_{ b } y } \right) }
}
{ =} {\log_{ b } y \cdot \log_{ a } b
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Berechne $e^3$ mit Hilfe der
\definitionsverweis {Exponentialreihe}{}{}
bis auf einen Fehler von
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 1000 } }}{.}
}
{} {Die Restgliedabschätzung aus
Aufgabe 12.29
darf verwendet werden.}
\inputaufgabe
{3}
{
Berechne die Koeffizienten
\mathl{c_0,c_1 , \ldots , c_5}{} der Potenzreihe
\mathl{\sum_{n=0}^\infty c_nx^n}{,} die das
\definitionsverweis {Cauchy-Produkt}{}{} der
\definitionsverweis {geometrischen Reihe}{}{} mit der
\definitionsverweis {Exponentialreihe}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty a_n x^{ n }} { }
eine
\definitionsverweis {absolut konvergente}{}{}
\definitionsverweis {Potenzreihe}{}{.} Bestimme die Koeffizienten zu den Potenzen $x^0,x^1,x^2,x^3,x^4,x^5$ in der vierten Potenz
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum _{ n= 0}^\infty c_n x^{ n }
}
{ =} { { \left( \sum _{ n= 0}^\infty a_n x^{ n } \right) }^4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R_{N+1} (x)
}
{ =} { \exp x - \sum_{n = 0}^N \frac{ x^n}{n!}
}
{ =} { \sum_{n = N+1}^\infty \frac{ x^n}{n!}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das \stichwort {Restglied} {} der
\definitionsverweis {Exponentialreihe}{}{.}
Zeige, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x }
}
{ \leq }{ 1 + \frac{1}{2}N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die \stichwort {Rest\-gliedabschätzung} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { R_{N+1}(x) }
}
{ \leq} { \frac{2}{(N+1)!} \betrag { x }^{N+1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige, dass die durch die
\definitionsverweis {Exponentialreihe}{}{}
definierte
\definitionsverweis {reelle Exponentialfunktion}{}{}
die Eigenschaft besitzt, dass für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mathdisp {{ \left( \frac{ \exp n }{n^d} \right) }_{ n \in \N }} { }
\definitionsverweis {bestimmt divergent}{}{}
gegen $+ \infty$ ist\zusatzfussnote {Man sagt daher, dass die Exponentialfunktion \stichwort {schneller wächst} {} als jede Polynomfunktion} {.} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{2 (1+1)}
{
Zu Beginn des Studiums ist Professor Knopfloch doppelt so schlau wie die Studenten. Innerhalb eines Studienjahres werden die Studenten um $10 \%$ schlauer. Leider baut der Professor ab und verliert pro Jahr $10 \%$ seiner Schlauheit. \aufzaehlungzwei {Zeige, dass nach drei Studienjahren der Professor immer noch schlauer als die Studenten ist. } {Zeige, dass nach vier Studienjahren die Studenten den Professor an Schlauheit übertreffen. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Eine Währungsgemeinschaft habe eine Inflation von jährlich $2 \%$. Nach welchem Zeitraum \zusatzklammer {in Jahren und Tagen} {} {} haben sich die Preise verdoppelt?
}
{} {}