Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Teil I/Arbeitsblatt 12
- Übungsaufgaben
Berechne die ersten fünf Glieder des Cauchy-Produkts der beiden konvergenten Reihen
Man mache sich klar, dass die Partialsummen des Cauchy-Produkts von zwei Reihen nicht das Produkt der Partialsummen der beiden Reihen sind.
Es seien und zwei absolut konvergente Potenzreihen in . Zeige, dass das Cauchy-Produkt der beiden Reihen durch
gegeben ist.
Es sei
eine absolut konvergente Potenzreihe. Bestimme die Koeffizienten zu den Potenzen in der dritten Potenz
Wir betrachten das Polynom
- Berechne die Werte von an den Stellen .
- Skizziere den Graphen von auf dem Intervall . Gibt es einen Bezug zur Exponentialfunktion ?
- Bestimme eine Nullstelle von innerhalb von mit einem Fehler von maximal .
Berechne von Hand die ersten vier Nachkommastellen im Zehnersystem von
Zeige die folgenden Abschätzungen.
a)
b)
Es sei eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Exponentialfunktion
folgende Eigenschaften besitzt.
- Es ist für alle .
- Es ist .
- Für und ist .
- Für und ist .
- Für ist streng wachsend.
- Für ist streng fallend.
- Es ist für alle .
- Für ist .
Es sei
eine stetige Funktion , die die Gleichung
für alle erfüllt. Zeige, dass eine Exponentialfunktion ist, d.h. dass es ein mit gibt.
Zeige, dass eine Exponentialfunktion
aus einem arithmetischen Mittel ein geometrisches Mittel macht.
Es sei
eine Exponentialfunktion mit . Zu jedem definiert die Gerade durch die beiden Punkte und einen Schnittpunkt mit der -Achse, den wir mit bezeichnen. Zeige
Skizziere die Situation.
Man gebe ein Beispiel einer stetigen, streng wachsenden Funktion
mit und mit für alle , die von verschieden ist.
Zeige, dass die Hintereinanderschaltung von zwei Exponentialfunktionen keine Exponentialfunktion sein muss.
Es sei eine positive reelle Zahl und . Zeige, dass die durch
definierte Zahl unabhängig von der Bruchdarstellung für ist.
Berechne
bis auf einen Fehler von .
Berechne
bis auf einen Fehler von .
Vergleiche die beiden Zahlen
Vergleiche die drei Zahlen
Es seien und fixiert. Zeige
Es sei fixiert. Zeige
Zeige, dass die Logarithmen zur Basis die folgenden Rechenregeln erfüllen.
- Es ist und , das heißt der Logarithmus zur Basis b ist die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion zur Basis .
- Es gilt
- Es gilt für .
- Es gilt
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)
Berechne mit Hilfe der Exponentialreihe bis auf einen Fehler von .
Die Restgliedabschätzung aus Aufgabe 12.29 darf verwendet werden.
Aufgabe (3 Punkte)
Berechne die Koeffizienten der Potenzreihe , die das Cauchy-Produkt der geometrischen Reihe mit der Exponentialreihe ist.
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei
eine absolut konvergente Potenzreihe. Bestimme die Koeffizienten zu den Potenzen in der vierten Potenz
Aufgabe (5 Punkte)
Aufgabe (4 Punkte)
Zeige, dass die durch die Exponentialreihe definierte reelle Exponentialfunktion die Eigenschaft besitzt, dass für jedes die Folge
bestimmt divergent gegen ist.[1]
Aufgabe (2 (1+1) Punkte)
Zu Beginn des Studiums ist Professor Knopfloch doppelt so schlau wie die Studenten. Innerhalb eines Studienjahres werden die Studenten um schlauer. Leider baut der Professor ab und verliert pro Jahr seiner Schlauheit.
- Zeige, dass nach drei Studienjahren der Professor immer noch schlauer als die Studenten ist.
- Zeige, dass nach vier Studienjahren die Studenten den Professor an Schlauheit übertreffen.
Aufgabe (2 Punkte)
Eine Währungsgemeinschaft habe eine Inflation von jährlich . Nach welchem Zeitraum (in Jahren und Tagen) haben sich die Preise verdoppelt?
- Fußnoten
- ↑ Man sagt daher, dass die Exponentialfunktion schneller wächst als jede Polynomfunktion.
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