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Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Teil I/Arbeitsblatt 12

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Übungsaufgaben

Berechne die ersten fünf Glieder des Cauchy-Produkts der beiden konvergenten Reihen



Man mache sich klar, dass die Partialsummen des Cauchy-Produkts von zwei Reihen nicht das Produkt der Partialsummen der beiden Reihen sind.



Es seien und zwei absolut konvergente Potenzreihen in . Zeige, dass das Cauchy-Produkt der beiden Reihen durch

gegeben ist.



Es sei  , . Bestimme (in Abhängigkeit von ) die Summen der beiden Reihen



Es sei

eine absolut konvergente Potenzreihe. Bestimme die Koeffizienten zu den Potenzen in der dritten Potenz



Wir betrachten das Polynom

  1. Berechne die Werte von an den Stellen .
  2. Skizziere den Graphen von auf dem Intervall . Gibt es einen Bezug zur Exponentialfunktion ?
  3. Bestimme eine Nullstelle von innerhalb von mit einem Fehler von maximal .



Berechne von Hand die ersten vier Nachkommastellen im Zehnersystem von



Zeige die folgenden Abschätzungen.

a)

b)



Es sei eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Exponentialfunktion

folgende Eigenschaften besitzt.

  1. Es ist für alle .
  2. Es ist .
  3. Für und ist .
  4. Für und ist .
  5. Für ist streng wachsend.
  6. Für ist streng fallend.
  7. Es ist für alle .
  8. Für ist .



Es sei

eine stetige Funktion , die die Gleichung

für alle erfüllt. Zeige, dass eine Exponentialfunktion ist, d.h. dass es ein mit gibt.



Zeige, dass eine Exponentialfunktion

aus einem arithmetischen Mittel ein geometrisches Mittel macht.



Es sei

eine Exponentialfunktion mit . Zu jedem definiert die Gerade durch die beiden Punkte und einen Schnittpunkt mit der -Achse, den wir mit bezeichnen. Zeige

Skizziere die Situation.



Man gebe ein Beispiel einer stetigen, streng wachsenden Funktion

mit und mit für alle , die von verschieden ist.



Zeige, dass die Hintereinanderschaltung von zwei Exponentialfunktionen keine Exponentialfunktion sein muss.



Es sei fixiert. Zeige, dass die Potenzfunktion

stetig ist.



Es sei eine positive reelle Zahl und . Zeige, dass die durch

definierte Zahl unabhängig von der Bruchdarstellung für ist.



Es sei und eine rationale Zahl. Zeige, dass die Schreibweise

mit der Definition

verträglich ist.



Berechne

bis auf einen Fehler von .



Berechne

bis auf einen Fehler von .



Vergleiche die beiden Zahlen



Vergleiche die drei Zahlen



Es seien und fixiert. Zeige



Es sei fixiert. Zeige



Entscheide, ob die reelle Folge

(mit ) in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.



Zeige, dass die Logarithmen zur Basis die folgenden Rechenregeln erfüllen.

  1. Es ist und , das heißt der Logarithmus zur Basis b ist die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion zur Basis .
  2. Es gilt
  3. Es gilt für .
  4. Es gilt




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne mit Hilfe der Exponentialreihe bis auf einen Fehler von .

Die Restgliedabschätzung aus Aufgabe 12.29 darf verwendet werden.


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne die Koeffizienten der Potenzreihe , die das Cauchy-Produkt der geometrischen Reihe mit der Exponentialreihe ist.



Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine absolut konvergente Potenzreihe. Bestimme die Koeffizienten zu den Potenzen in der vierten Potenz



Aufgabe (5 Punkte)

Für und sei

das Restglied der Exponentialreihe. Zeige, dass für die Restgliedabschätzung

gilt.



Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die durch die Exponentialreihe definierte reelle Exponentialfunktion die Eigenschaft besitzt, dass für jedes die Folge

bestimmt divergent gegen ist.[1]



Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

Zu Beginn des Studiums ist Professor Knopfloch doppelt so schlau wie die Studenten. Innerhalb eines Studienjahres werden die Studenten um schlauer. Leider baut der Professor ab und verliert pro Jahr seiner Schlauheit.

  1. Zeige, dass nach drei Studienjahren der Professor immer noch schlauer als die Studenten ist.
  2. Zeige, dass nach vier Studienjahren die Studenten den Professor an Schlauheit übertreffen.



Aufgabe (2 Punkte)

Eine Währungsgemeinschaft habe eine Inflation von jährlich . Nach welchem Zeitraum (in Jahren und Tagen) haben sich die Preise verdoppelt?




Fußnoten
  1. Man sagt daher, dass die Exponentialfunktion schneller wächst als jede Polynomfunktion.



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