Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Teil I/Vorlesung 18/latex
\setcounter{section}{18}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Waeller48.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Da der Wurf ziemlich groß war, und Vorli als letzte geboren wurde, bekam sie wenig Milch ab. Die prallen Zitzen waren immer schon von den Geschwistern besetzt. Eine Zeitlang stand es kritisch um sie und sie musste von Hand aufgezogen werden.} }
\bildlizenz { Waeller48.jpg } {} {Odatrulle} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Integral_as_region_under_curve.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Integral as region under curve.svg } {} {4C} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
In den folgenden Vorlesungen beschäftigen wir uns mit der \stichwort {Integrationstheorie} {,} d.h. wir wollen den Flächeninhalt derjenigen Fläche, die durch einen Funktionsgraphen einer Funktion
\zusatzklammer {dem \stichwort {Integranden} {}} {} {}
\maabbdisp {f} {[a,b]} {\R
} {}
und der $x$-Achse begrenzt wird, systematisch studieren und berechnen. Zugleich ergibt sich ein direkter Zusammenhang zum Auffinden von \stichwort {Stammfunktionen} {} von $f$, das sind Funktionen, deren Ableitung $f$ ist. Der Flächeninhalt ist kein unproblematischer Begriff, der erst im Rahmen der \stichwort {Maßtheorie} {} grundlegend behandelt wird. Dennoch handelt es sich um einen intuitiv leicht zugänglichen Begriff, von dem wir hier nur einige wenige naheliegende Grundtatsachen verwenden. Sie dienen hier auch nirgendwo der Argumentation, sondern lediglich der Motivation. Ausgangspunkt ist, dass der Flächeninhalt eines Rechtecks mit gegebenen Seitenlängen einfach das Produkt der beiden Seitenlängen ist, und dass der Flächeninhalt einer Fläche, die man mit Rechtecken \anfuehrung{ausschöpfen}{} kann, als der Limes der Summe der beteiligten Rechtecksinhalte erhalten werden kann. Beim \stichwort {Riemannschen Integral} {,} das zumindest für stetige Funktionen eine befriedigende Theorie liefert, beschränkt man sich auf solche Rechtecke, die parallel zum Koordinatensystem liegen, deren Breite
\zusatzklammer {Grundseite auf der $x$-Achse} {} {}
beliebig variieren darf und deren Höhe in Beziehung zu den Funktionswerten über der Grundseite steht. Dadurch werden die Funktionen durch sogenannte \stichwort {Treppenfunktionen} {} approximiert.
\zwischenueberschrift{Treppenfunktionen}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Histogram_example.svg} }
\end{center}
\bildtext {Eine Treppenfunktion. Im statistischen Kontext spricht man von Histogrammen oder von Säulendiagrammen.} }
\bildlizenz { Histogram example.svg } {} {} {Commons} {} {}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $I$ ein
\definitionsverweis {reelles}{}{}
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
mit den Grenzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.} Dann heißt eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabbdisp {t} {I} {\R
} {}
eine \definitionswort {Treppenfunktion}{,} wenn es eine Unterteilung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a
}
{ =} { a_0
}
{ <} { a_1
}
{ <} { a_2
}
{ <} { \cdots
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ <} { a_{n-1}
}
{ <} { a_n
}
{ =} { b
}
{ } {}
}{}{}
von $I$ derart gibt, dass $t$ auf jedem offenen Teilintervall
\mathl{]a_{i-1},a_{i}[}{}
\definitionsverweis {konstant}{}{}
ist.
}
Diese Definition stellt also keine Bedingung an den Wert der Funktion an den Unterteilungspunkten. Das Intervall
\mathl{]a_{i-1},a_i[}{} nennt man $i$-tes Teilintervall, und
\mathl{a_i-a_{i-1}}{} heißt Länge dieses Teilintervalls. Wenn die Länge der Teilintervalle konstant ist, so spricht man von einer \stichwort {äquidistanten Unterteilung} {.}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $I$ ein
\definitionsverweis {reelles}{}{}
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
mit den Grenzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{} und sei
\maabbdisp {t} {I} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Treppenfunktion}{}{}
zur Unterteilung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{ a_0
}
{ < }{ a_1
}
{ < }{ a_2
}
{ < }{ \cdots
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ < }{ a_{n-1}
}
{ < }{ a_n
}
{ = }{b
}
{ }{}
{}{}
}{}{}
und den Werten
\mathbed {t_i} {}
{i=1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {.}
Dann heißt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T
}
{ \defeq} { \sum_{i = 1}^n t_i (a_i - a_{i-1})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das \definitionswort {Treppenintegral}{} von $t$ auf $I$.
}
Das Treppenintegral wird auch mit
\mathl{\int_{ a }^{ b } t ( x) \, d x}{} bezeichnet. Bei einer äquidistanten Unterteilung mit der Teilintervalllänge
\mathl{\frac{b-a}{n}}{} ist das Treppenintegral gleich
\mathl{\frac{b-a}{n} { \left( \sum_{i = 1}^n t_i \right) }}{.} Das Treppenintegral ist nicht von der gewählten Unterteilung abhängig, bezüglich der eine Treppenfunktion vorliegt
\zusatzklammer {man kann also die Unterteilung verfeinern} {} {.}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $I$ ein
\definitionsverweis {beschränktes Intervall}{}{}
und sei
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.} Dann heißt eine
\definitionsverweis {Treppenfunktion}{}{}
\maabbdisp {t} { I } { \R
} {}
eine \definitionswort {obere Treppenfunktion}{} zu $f$, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t(x)
}
{ \geq }{ f(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}\zusatzfussnote {Dafür schreibt man auch \mathlk{t \geq f}{}} {.} {}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Eine Treppenfunktion
\maabbdisp {s} { I } { \R
} {}
heißt eine \definitionswort {untere Treppenfunktion}{} zu $f$, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s(x)
}
{ \leq }{ f(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
Eine obere \zusatzklammer {untere} {} {} Treppenfunktion zu $f$ gibt es genau dann, wenn $f$ nach oben \zusatzklammer {nach unten} {} {} beschränkt ist.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $I$ ein
\definitionsverweis {beschränktes Intervall}{}{}
und sei
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.} Zu jeder
\definitionsverweis {oberen Treppenfunktion}{}{}
\maabbdisp {t} {I} {\R
} {}
von $f$ zur Unterteilung
\mathbed {a_i} {}
{i=0 , \ldots , n} {}
{} {} {} {,}
und den Werten
\mathbed {t_i} {}
{i=1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {,}
heißt das
\definitionsverweis {Treppenintegral}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T
}
{ \defeq} { \sum_{i = 1}^n t_i { \left( a_i - a_{i-1} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein \definitionswort {oberes Treppenintegral}{}
\zusatzklammer {oder eine \definitionswort {Obersumme}{}} {} {}
von $f$ auf $I$.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $I$ ein
\definitionsverweis {beschränktes Intervall}{}{}
und sei
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.} Zu jeder
\definitionsverweis {unteren Treppenfunktion}{}{}
\maabbdisp {s} {I} {\R
} {}
von $f$ zur Unterteilung
\mathbed {a_i} {}
{i=0 , \ldots , n} {}
{} {} {} {,}
und den Werten
\mathbed {s_i} {}
{i=1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {,}
heißt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S
}
{ \defeq} { \sum_{i = 1}^n s_i { \left( a_i - a_{i-1} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein \definitionswort {unteres Treppenintegral}{}
\zusatzklammer {oder eine \definitionswort { Untersumme}{}} {} {}
von $f$ auf $I$.
}
Verschiedene obere
\zusatzklammer {untere} {} {}
Treppenfunktionen liefern natürlich verschiedene obere
\zusatzklammer {und untere} {} {}
Treppenintegralge.Für die weiteren Integrationskonzepte brauchen wir zwei Begriffe, die sich auf beliebige reelle Teilmengen beziehen.
\inputdefinition
{}
{
Zu einer nichtleeren Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt eine
\definitionsverweis {obere Schranke}{}{}
$T$ von $M$ das \definitionswort {Supremum}{} von $M$, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \leq }{ S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle oberen Schranken $S$ von $M$ gilt.
}
\inputdefinition
{}
{
Zu einer nichtleeren Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt eine
\definitionsverweis {untere Schranke}{}{}
$t$ von $M$ das \definitionswort {Infimum}{} von $M$, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \geq }{ s
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle unteren Schranken $s$ von $M$ gilt.
}
Die Existenz von Infimum und Supremum ergibt sich aus der Vollständigkeit der reellen Zahlen.
\inputfaktbeweisnichtvorgefuehrt
{Reelle Zahlen/Beschränkte Teilmenge hat Supremum/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Jede nichtleere
\definitionsverweis {nach oben beschränkte}{}{}
Teilmenge der reellen Zahlen}
\faktfolgerung {besitzt ein
\definitionsverweis {Supremum}{}{}
in $\R$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mathl{M \subseteq \R}{} eine nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge. Es sei
\mathl{x_0 \in M}{} und $y_0$ eine obere Schranke für $M$, d.h. es ist
\mathl{x \leq y_0}{} für alle
\mathl{x \in M}{.} Wir konstruieren zwei Folgen
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {,}
wobei
\mathl{x_n \in M}{}
wachsend,
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} fallend ist und jedes $y_n$ eine obere Schranke von $M$ ist
\zusatzklammer {sodass insbesondere
\mathl{x_n \leq y_n}{} für alle $n$ ist} {} {,}
und so, dass
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine Cauchy-Folge ist. Dabei gehen wir induktiv vor, d.h. die beiden Folgen seien bis $n$ bereits definiert und erfüllen die gewünschten Eigenschaften. Wir setzen
\mathdisp {x_{n+1} \defeq \begin{cases}
x_n,\, \text{ falls } [ \frac{x_n+ y_n}{2}, y_n] \cap M = \emptyset \, , \\
\text{ein beliebiger Punkt aus } [ \frac{x_n+ y_n}{2}, y_n] \cap M \text{ sonst}\, . \end{cases}} { }
und
\mathdisp {y_{n+1} \defeq \begin{cases}
\frac{x_n+ y_n}{2} ,\, \text{ falls } [ \frac{x_n+ y_n}{2}, y_n] \cap M = \emptyset \, , \\
y_n \text{ sonst} \, . \end{cases}} { }
Dies erfüllt die gewünschten Eigenschaften, und es ist
\mathdisp {y_n -x_n \leq \left(\frac{1}{2}\right)^n (y_0-x_0)} { , }
da in beiden Fällen der Abstand zumindest halbiert wird. Da die Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} wachsend und nach oben beschränkt ist, handelt es sich nach
Lemma 8.7
um eine Cauchy-Folge. Wegen der
\definitionsverweis {Vollständigkeit}{}{}
besitzt die konstruierte Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} einen Grenzwert $x$. Ebenso ist die fallende Folge
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{,} die nach unten beschränkt ist, eine Cauchy-Folge mit demselben Grenzwert $x$. \teilbeweis {}{}{}
{ Wir behaupten, dass dieses $x$ das Supremum von $M$ ist. Wir zeigen zuerst, dass $x$ eine obere Schranke von $M$ ist. Es sei dazu
\mathl{z>x}{} angenommen für ein
\mathl{z \in M}{.} Da die Folge
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} gegen $x$ konvergiert, gibt es insbesondere ein $n$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ \leq} {y_n
}
{ <} {z
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{}
im Widerspruch dazu, dass jedes $y_n$ eine obere Schranke von $M$ ist.}
{}\teilbeweis { Für die Supremumseigenschaft müssen wir zeigen, dass $x$ kleiner oder gleich jeder oberen Schranke von $M$ ist.\leerzeichen{}}{}{}
{Es sei dazu $u$ eine obere Schranke von $M$ und nehmen wir an, dass
\mathl{x>u}{} ist. Da
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} gegen $x$ konvergiert, gibt es wieder ein $n$ mit
\mathdisp {u<x_n \leq x} { }
im Widerspruch dazu, dass $u$ eine obere Schranke ist.}
{\leerzeichen{}Also liegt wirklich das Supremum vor.}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $I$ ein \definitionsverweis {beschränktes Intervall}{}{} und sei \maabbdisp {f} {I} {\R } {} eine nach oben beschränkte \definitionsverweis {Funktion}{}{.} Dann heißt das \definitionsverweis {Infimum}{}{} von sämtlichen \definitionsverweis {Treppenintegralen}{}{} zu \definitionsverweis {oberen Treppenfunktionen}{}{} von $f$ das \definitionswort {Oberintegral}{} von $f$.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $I$ ein \definitionsverweis {beschränktes Intervall}{}{} und sei \maabbdisp {f} {I} {\R } {} eine nach unten beschränkte \definitionsverweis {Funktion}{}{.} Dann heißt das \definitionsverweis {Supremum}{}{} von sämtlichen \definitionsverweis {Treppenintegralen}{}{} zu \definitionsverweis {unteren Treppenfunktionen}{}{} von $f$ das \definitionswort {Unterintegral}{} von $f$.
}
Die Beschränkung nach unten stellt sicher, dass es überhaupt eine untere Treppenfunktion gibt und damit die Menge der unteren Treppenintegrale nicht leer ist. Unter dieser Bedingung allein muss nicht unbedingt die Menge der unteren Treppenintegrale ein Supremum besitzen. Für \zusatzklammer {beidseitig} {} {} beschränkte Funktionen existiert hingegen stets das Ober- und das Unterintegral. Bei einer gegebenen Unterteilung gibt es eine kleinste obere \zusatzklammer {größte untere} {} {} Treppenfunktion, die durch die Suprema \zusatzklammer {Infima} {} {} der Funktion auf den Teilintervallen festgelegt ist. Bei stetigen Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen sind das Maxima bzw. Minima. Für das Integral muss man aber Treppenfunktionen zu sämtlichen Unterteilungen berücksichtigen.
\zwischenueberschrift{Riemann-integrierbare Funktionen}
Im Folgenden sprechen wir manchmal von einem kompakten Intervall, das ist ein beschränktes und abgeschlossenes Intervall, also von der Form
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ = }{[a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Integral_approximations.svg} }
\end{center}
\bildtext {Eine untere und eine obere Treppenfunktion. Der grüne Flächeninhalt ist eine Untersumme und der gelbe Flächeninhalt
\zusatzklammer {teilweise verdeckt} {} {} ist eine Obersumme.} }
\bildlizenz { Integral approximations.svg } {} {KSmrq} {Commons} {CC-vy-sa 3.0} {}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $I$ ein \definitionsverweis {kompaktes Intervall}{}{} und sei \maabbdisp {f} {I} {\R } {} eine \definitionsverweis {Funktion}{}{.} Dann heißt $f$ \definitionswort {Riemann-integrierbar}{,} wenn \definitionsverweis {Ober}{}{-} und \definitionsverweis {Unterintegral}{}{} von $f$ existieren und übereinstimmen.
}
Historisch korrekter ist es, von \stichwort {Darboux-integrierbar} {} zu sprechen.
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mathl{I=[a,b]}{} ein
\definitionsverweis {kompaktes Intervall}{}{.} Zu einer
\definitionsverweis {Riemann-integrierbaren Funktion}{}{}
\maabbeledisp {f} {I = [a,b]} {\R
} {t} {f(t)
} {,}
heißt das
\definitionsverweis {Oberintegral}{}{}
\zusatzklammer {das nach Definition mit dem
\definitionsverweis {Unterintegral}{}{}
übereinstimmt} {} {}
das \definitionswort {bestimmte Integral}{} von $f$ über $I$. Es wird mit
\mathdisp {\int_{ a }^{ b } f ( t) \, d t \text{ oder mit } \int_{ I }^{ } f ( t) \, d t} { }
bezeichnet.
}
Das Berechnen von solchen Integralen nennt man \stichwort {integrieren} {.} Man sollte sich keine allzu großen Gedanken über das Symbol $dt$ machen. Darin wird ausgedrückt, bezüglich welcher Variablen die Funktion zu integrieren ist. Es kommt dabei aber nicht auf den Namen der Variablen an, d.h. es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ a }^{ b } f(t) \, d t
}
{ =} { \int_{ a }^{ b } f(x) \, d x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
{Riemann Integral/Treppenfunktionen mit gleichem Limes/Integral/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $I$ ein
\definitionsverweis {kompaktes Intervall}{}{}
und sei
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.} Es gebe eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
von
\definitionsverweis {unteren Treppenfunktionen}{}{}
\mathbed {{ \left( s_n \right) }_{ n \in \N }} {mit}
{s_n \leq f} {}
{} {} {} {}
und eine Folge von oberen Treppenfunktionen
\mathbed {{ \left( t_n \right) }_{ n \in \N }} {mit}
{t_n \geq f} {}
{} {} {} {.}}
\faktvoraussetzung {Es sei vorausgesetzt, dass die beiden zugehörigen Folgen der Treppenintegrale
\definitionsverweis {konvergieren}{}{}
und dass ihr
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
übereinstimmt.}
\faktfolgerung {Dann ist $f$
\definitionsverweis {Riemann-integrierbar}{}{,}
und das
\definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{}
ist gleich diesem Grenzwert, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} \int_{ a }^{ b } s_n ( x) \, d x
}
{ =} { \int_{ a }^{ b } f ( x) \, d x
}
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} \int_{ a }^{ b } t_n ( x) \, d x
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 18.12. }
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbeledisp {f} {[0,1]} {\R
} {t} {t^2
} {,}
die bekanntlich in diesem Intervall
\definitionsverweis {streng wachsend}{}{}
ist. Für ein Teilintervall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ [a,b]
}
{ \subseteq }{ [0,1]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist daher
\mathl{f(a)}{} das
\definitionsverweis {Minimum}{}{}
und
\mathl{f(b)}{} das
\definitionsverweis {Maximum}{}{}
der Funktion über diesem Teilintervall. Es sei $n$ eine positive natürliche Zahl. Wir unterteilen das Intervall
\mathl{[0,1]}{} in die $n$ gleichlangen Teilintervalle
\mathbeddisp {\left[ i { \frac{ 1 }{ n } } , (i+1) { \frac{ 1 }{ n } } \right]} {}
{i=0 , \ldots , n-1} {}
{} {} {} {,}
der Länge ${ \frac{ 1 }{ n } }$. Das
\definitionsverweis {Treppenintegral}{}{}
zu der zugehörigen
\definitionsverweis {unteren Treppenfunktionen}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 0}^{n-1} \frac{1}{n} { \left( i \frac{1}{n} \right) }^2
}
{ =} { \frac{1}{n^3} \sum_{i = 0}^{n-1} i^2
}
{ =} { \frac{1}{n^3} { \left( \frac{1}{3} n^3 - \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{6} n \right) }
}
{ =} { \frac{1}{3} - \frac{1}{2n} + \frac{1}{6n^2}
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {siehe
Aufgabe 2.10
für die Formel für die Summe der Quadrate} {} {.}
Da die beiden
\definitionsverweis {Folgen}{}{}
\mathkor {} {{ \left( 1/2n \right) }_{ n \in \N }} {und} {{ \left( 1/6n^2 \right) }_{ n \in \N }} {}
gegen $0$
\definitionsverweis {konvergieren}{}{,}
ist der
\definitionsverweis {Limes}{}{}
für
\mathl{n \rightarrow \infty}{} von diesen Treppenintegralen gleich ${ \frac{ 1 }{ 3 } }$. Das
\definitionsverweis {Treppenintegral}{}{}
zu der zugehörigen
\definitionsverweis {oberen Treppenfunktion}{}{}
ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \sum_{i = 0}^{n-1} \frac{1}{n} { \left( (i+1) \frac{1}{n} \right) }^2
}
{ =} { \frac{1}{n^3} \sum_{i = 0}^{n-1} (i+1)^2
}
{ =} { \frac{1}{n^3} \sum_{j = 1}^{n} j^2
}
{ =} { \frac{1}{n^3} { \left( \frac{1}{3} n^3 + \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{6} n \right) }
}
{ =} { \frac{1}{3} + \frac{1}{2n} + \frac{1}{6n^2}
}
}
{}
{}{.}
Der Limes davon ist wieder ${ \frac{ 1 }{ 3 } }$. Da beide Limiten übereinstimmen, müssen nach
Lemma 18.13
überhaupt das
\definitionsverweis {Ober}{}{-}
und das
\definitionsverweis {Unterintegral}{}{}
übereinstimmen, sodass die Funktion
\definitionsverweis {Riemann-integrierbar}{}{}
ist und das
\definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ 0 }^{ 1 } t^2 \, d t
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{Kompaktes Intervall/Reelle Funktion/Riemann integrierbar auf Unterteilung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $I =[a,b]$ ein
\definitionsverweis {kompaktes Intervall}{}{}
und sei
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.}}
\faktuebergang {Dann sind folgende Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Die Funktion $f$ ist
\definitionsverweis {Riemann-integrierbar}{}{.}
}{Es gibt eine Unterteilung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ = }{ a_0
}
{ < }{ a_1
}
{ < }{ \cdots
}
{ < }{ a_n
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ = }{ b
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
{}{}
}{}{}
derart, dass die einzelnen Einschränkungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f_i
}
{ \defeq }{ f |_{[a_{i-1},a_i]}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Riemann-integrierbar sind.
}{Für jede Unterteilung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ = }{ a_0
}
{ < }{ a_1
}
{ < }{ \cdots
}
{ < }{ a_n
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ = }{ b
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
{}{}
}{}{}
sind die Einschränkungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f_i
}
{ \defeq }{ f |_{[a_{i-1},a_i]}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Riemann-integrierbar.
}}
\faktzusatz {In dieser Situation gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ a }^{ b } f ( t) \, d t
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n \int_{ a_{i-1} }^{ a_i } f_i ( t) \, d t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 18.14. }
\inputdefinition
{}
{
Es sei $I$ ein
\definitionsverweis {reelles Intervall}{}{}
und sei
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.} Dann heißt $f$ \definitionswort {Riemann-integrierbar}{,} wenn die
\definitionsverweis {Einschränkung}{}{}
von $f$ auf jedes
\definitionsverweis {kompakte}{}{}
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ [a,b]
}
{ \subseteq }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Riemann-integrierbar}{}{}
ist.
}
Aufgrund des obigen Lemmas stimmen für ein kompaktes Intervall
\mathl{[a,b]}{} die beiden Definitionen überein. Die Integrierbarkeit einer Funktion
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
bedeutet nicht, dass
\mathl{\int_\R f(x) dx}{} eine Bedeutung hat bzw. existieren muss.
\zwischenueberschrift{Riemann-Integrierbarkeit stetiger Funktionen}
{Intervall/Stetige Funktion/Ist Riemann integrierbar/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $I$ ein
\definitionsverweis {reelles Intervall}{}{}
und sei
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $f$
\definitionsverweis {Riemann-integrierbar}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir werden den Beweis, der auf dem Begriff der gleichmäßigen Stetigkeit beruht, nicht durchführen.
\inputfaktbeweis
{Riemann integrierbar/Elementare Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{I=[a,b]}{} ein
\definitionsverweis {kompaktes Intervall}{}{} und es seien
\maabb {f,g} {I} {\R
} {}
zwei
\definitionsverweis {Riemann-integrierbare}{}{}
\definitionsverweis {Funktionen}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungsieben{Ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ \leq }{f(x)
}
{ \leq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
so ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m(b-a)
}
{ \leq }{ \int_{ a }^{ b } f ( t) \, d t
}
{ \leq }{ M(b-a)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ \leq }{ g(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
so ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \int_{ a }^{ b } f ( t) \, d t
}
{ \leq }{ \int_{ a }^{ b } g ( t) \, d t
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Die Summe
\mathl{f+g}{} ist Riemann-integrierbar und es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \int_{ a }^{ b } (f+g)(t) \, d t
}
{ = }{ \int_{ a }^{ b } f ( t) \, d t + \int_{ a }^{ b } g ( t) \, d t
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \int_{ a }^{ b } (cf)(t) \, d t
}
{ = }{ c \int_{ a }^{ b } f ( t) \, d t
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Die Funktionen
\mathl{{\max { \left( f , g \right) } }}{} und
\mathl{{\min { \left( f , g \right) } }}{} sind Riemann-integrierbar.
}{Die Funktion
\mathl{\betrag { f }}{} ist Riemann-integrierbar.
}{Das Produkt
\mathl{fg}{} ist Riemann-integrierbar.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Für (1) bis (4) siehe
Aufgabe 18.15.
\teilbeweis {}{}{}
{Für (5) siehe
Aufgabe 18.17.}
{}
(6) folgt direkt aus (5) wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { f }
}
{ = }{ {\max { \left( f,-f , \right) } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für (7) siehe Aufgabe 18.18.