Kurs:Mathematische Modellbildung/Lehrerbedarf/Mathematische Grundlagen

Zyklus 1

Prozentrechnung

Anteil eines Ganzen bestimmen
Mithilfe von Bruchrechnung

Grundwert

$100$ % entspricht dem Ganzen, das ist dann der Grundwert.

$1$ % entspricht also ${\frac {1}{100}}$ des Grundwertes.

Der Grundwert $G$ steht für das Ganze, von dem im Zusammenhang der Aufgabenstellung ausgegangen werden soll. $G={\frac {W}{p}}\cdot 100$

"Von

24

Schülern einer Klasse..."

Prozentwert

Der Prozentwert $W$ ist der Teil des Ganzen, um den es im betreffenden Sachzusammenhang geht. $W={\frac {p\cdot G}{100}}$

"... mögen

6

Schüler keine Prozentrechnung."

Prozentsatz

Der Prozentsatz $p$ ist der in % ausgedrückte Anteil, den der Prozentwert am Grundwert hat. $p={\frac {W\cdot 100}{G}}$

"Das sind

25

% der Klasse."

Parameterfunktion

Funktion, deren Term verschiedene Konstanten enthält (Parameter)
Durch Variation der Parameter erhält man verschiedene, miteinander verwandte Funktionen

Die Auswirkungen von Parametern auf Funktionsgraphen allgemein

$g(x)=a\cdot f(b\cdot (x+c))+d$

Streckung in $y$ -Richtung $|a|>1$
Stauchung in $y$ -Richtung $0<|a|<1$
Streckung in $x$ -Richtung $0<|b|<1$
Stauchung in $x$ -Richtung $|b|>1$

Verschiebung in $x$ -Richtung nach links $c>0$
Verschiebung in $x$ -Richtung nach rechts $c<0$
Verschiebung in $y$ -Richtung nach oben $d>0$
Verschiebung in $y$ -Richtung nach unten $d<0$

Trigonometrische Regression

Gegeben:

Menge von Wertepaaren $(x_{i},y_{i})$
Trigonometrische Funktion $f(x)=a\cdot sin\cdot (bx+c)+d$

Ziel der trigonometrischen Regression:

Parameter $a$ , $b$ und $c$ so wählen, dass die Menge der Wertepaare möglichst gut approximiert wird
Minimale Fehlerquadratsumme $\Sigma (f(x_{i})-y_{i})^{2}$ soll so klein wie möglich sein

Zyklus 2

^[4]

Matrizen

Matrix allgemein

Ein Zahlenschema mit $m$ Zeilen und $n$ Spalten wird als $m\times n-Matrix$ bezeichnet $(m,n\in \mathbb {N} )$ . Ist $m=n$ , dann ist die Matrix quadratisch. Die Einträge in der Matrix heißen Elemente $a_{ij}$ $(a\in \mathbb {R} )$ , dabei ist $i$ die Zeilennummer und $j$ die entsprechende Spaltennummer. ${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}$

Matrizenmultiplikation

Eine Multiplikation $C=A\cdot B$ für Matrizen ist nur dann definiert, wenn die Matrix $A$ genau so viele Spalten hat, wie die Matrix $B$ Zeilen besitzt. Damit ist sie im Allgemeinen nicht kommutativ.

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\\end{pmatrix}},$ $B={\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\\b_{31}&b_{32}\\\end{pmatrix}},$

$C=A\cdot B={\begin{pmatrix}a_{11}\cdot b_{11}+a_{12}\cdot b_{21}+a_{13}\cdot b_{31}&a_{11}\cdot b_{12}+a_{12}\cdot b_{22}+a_{13}+b_{32}\\a_{21}\cdot b_{11}+a_{22}\cdot b_{21}+a_{23}\cdot b_{31}&a_{21}\cdot b_{12}+a_{22}\cdot b_{22}+a_{23}+b_{32}\\\end{pmatrix}}$

Stochastische Matrizen

Eine Matrix $P$ heißt stochastische Matrix, wenn sie quadratisch ist und für jedes ihrer Elemente $a_{ij}$ gilt $0\leq a_{ij}\leq 1$ .
Zudem muss die Summe der Elemente in jeder Spalte 1 betragen.
Der zu einer stochastischen Matrix gehörende Prozess heißt Austauschprozess.

Austauschprozess

Bei einem Austauschprozess gibt das Element $a_{ij}$ der zugehörigen stochastischen Matrix an, welcher Anteil der Objekte im Zustand $j$ sich bei der nächsten Beobachtung im Zustand $i$ befindet. $P={\begin{pmatrix}0,7&0,3&0,2\\0,1&0,6&0,4\\0,2&0,1&0,4\end{pmatrix}}$

Wechselverhalten

Die stochastische Matrix $P$ gibt das Wechselverhalten an (Kunden von Café)
Die Matrix wird so gelesen, dass in den Spalten die Cafés stehen, von denen die Kunden weggehen und in den Zeilen die Cafés stehen, in die die Kunden wechseln. Also von wo nach wo die Kunden wechseln.
Konkret bleiben in diesem Beispiel: $70$ % der Kunden bleiben dem Café A treu, $20$ % der Kunden wechseln von Café A zum Café C. Von Café B nach Café A wechseln beim nächsten Besuch $30$ % der Kunden usw.

Zyklus 3

^[5]

Logistisches Wachstum

Modell für Wachstumsprozesse
Anpassung des exponentiellen Wachstums um Schranke $S$ (Sättigungsgrenze)
Wachstumsprozess zunächst exponentiell, später beschränkt

Formel

$f(t)={\frac {a\cdot S}{a+(S-a)\cdot e^{-S\cdot k\cdot t}}}$

$a$ : Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$ (mit 0 kleiner a kleiner S)
$S$ : Sättigungsgrenze (Wert, der maximal möglich ist) mit $S=\lim _{t\to \infty }f(t)$
$k$ : Wachstumskonstante

Bestimmung (von k)

Bestimmung einer an Situation angepassten Formel
Schätzung der Sättigungsgrenze $S$
Mindestens zwei Wertepaare (Zeitpunkt t=0 und weiteres)
Einsetzen in Formel
Auflösen nach k

Auflösen nach k

Es ergibt sich $v={\frac {a\cdot S}{a+(S-a)\cdot e^{-S\cdot k\cdot u}}}$ ${\overset {(*)}{\Leftrightarrow }}$ $k={\frac {ln({\frac {a\cdot S-v\cdot a}{v\cdot (S-a)}})}{(-S)\cdot u}}$