Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester/Thema 4

Entwicklung der Rehpopulation innerhalb eines Waldes

Beschreibung des Waldes folgt (Blies, Rhein, theoretisches Modell)

Gruppenteilnehmer

1. Alexander Fuhrmann
2. Simon Lahr
3. Nicolas Kitzinger

Zielsetzung des Modellierungsthemas

1. Wie kann die Rehjagd geregelt werden, um Aussterben zu vermeiden?

2. Wie maximiert man den Gewinn bei begrenzten Ressourcen um möglichst viele Menschen zu ernähren?

3. Wie beeinflusst das Reh das Gleichgewicht im Ökosystem in Hinsicht auf Stabilität?

Zuordnung zu den Nachhaltigkeitszielen [1]

• (Life on Land):

Artenvielfalt der Rehe schützen

• (Zero Hunger)

Durch gezielte Jagd eine Ernährungsgrundlage sichern

• (Responsible Consumption and Production)

Eine Balance zwischen Jagd und der Repopilation der Rehe herstellen

• (Climate Action)

Eine Erhaltung der Artenvielfalt fördert eine Stabilisierung des Ökosystems welches zur Verhinderung der Klimaerwärmung beiträgt

Modellierungszyklus 1(Level: Sekundarstufe 1)

Entwicklung der Population des Rehs (Capreolus capreolus) ohne Jagd.

Hierbei soll vermittelt werden das eine Funktion nicht immer linear oder quadratisch ist. Gestartet wird mit einer Wertetabelle in denen die Schüler vermuten wie sich die Population entwickelt innerhalb X Jahre. Vorgegeben sind hierbei die Anzahl der durchschnittlichen Nachkommen pro Jahr sowie das Durchschnittliche Alter eines Rehs. Erkannt werden soll hier, dass es eine sehr schnelle Vermehrung ist und diese Bedingungen aufgrung Platz und Nahrungsmangel sowie fehlender Fressfeinde sehr unrealistisch sind.

Mathematische Modelle zur Beschreibung der Rehpopulation

Die Dynamik von Rehpopulation lässt sich mit verschiedenen mathematischen Modellen beschreiben. Hier erste Entwürfe:

1. Einfaches Wachstumsmodell (exponentiell)

Das Wachstum einer Rehpopulation ohne Begrenzungen wird durch die folgende Differentialgleichung beschrieben:

$dP/dt=rP$

Hierbei gilt:

• (P): Population des Rehs
• (r): Wachstumsrate
• (t): Zeit

-Reh 2 Kinder pro Wurf im Durschschnitt

-Jedes Jahr ab dem 2ten Lebensjahr

-Lebenserwartung 12 Jahre

Tabelle für Schüler zum Auswerten(Beispiel/Reh):

Alter/Jahr	1	2	3	4	5	6	7
1		54	88	131	1655	5021	11320
2		54	88	131	1655	5021
3	2		54	88	131	1655
4		2		54	88	131
5			2		54	88
6				2		54
7					2
8						2
9							2
Gesamt	2	56	144	275	1930	6951	18271
	1	2	3	4	5	6	7
	2	56	144	275	1930	6951	18271

a*e^k*x=f(x) bei 10 und 11 Jahren

(I) a*e^k*10 = 82 => a=82/e^k*10

(II)a*e^k*11 = 120 => a=120/e^k*11 => 82/e^k*10= 120/e^k*11 =>

e^11k-10k = 120/82 =

e^1k = 60/41 => ek=ln(60/41)=0,38 =>a ) 82/e^3.8 = 1.83 =>

f(x)=1,83*e^0,38*x

1. Logistisches Wachstumsmodell

Unter Berücksichtigung der Umweltkapazität (K), also der maximal tragbaren Population, ergibt sich:

$dP/dt=rP(1-P/K)$

Zusätzliche Parameter:

• (K): Umweltkapazität

Zur Berechnung der Umweltkapazität benötigen wir folgende Werte:

2. Erweiterung mit Jagdrate

Wenn man die Jagdrate (F) berücksichtigt, ändert sich das Modell wie folgt:

$dP/dt=rP(1-P/K)-F$

Die Jagdrate (F) kann weiter spezifiziert werden als:

$F=q*E*P$

Hierbei gilt:

• (q): Jagdkoeffizient (Effizienz der Jagdmethoden)
• (E): Jagdaufwand (z. B. Anzahl der Jäger, Jagdzeit)

Modellierungszyklus 3 (Level: Uni-Niveau)

(Text)




Literatur und Quellen