Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Destillation von verunreinigtem Wasser

Hier entsteht ein Portfolio zur mathematischen Modellbildung zum Thema "Säuberung von verunreinigtem Wasser"

Inhaltliche Einführung zum Realproblem

In Mosambik haben ca. 53% der Gesamtbevölkerung keinen Zugang zu sauberem Trinkwasser. Bei einer Bevölkerung von 25 Millionen entspricht dies in etwa 13,25 Millionen Menschen, die täglich 2 Liter Wasser benötigen. Mosambik liegt in den Tropen des südlichen Afrikas am indischen Ozean und eignet sich daher ideal zur Benutzung von Watercones.

Watercones können auch zur Gewinnung von Wasser aus Bodenfeuchte genutzt werden

Watercones sind mobile, preisgünstige, solare Destillationsanlagen, die verunreinigtes Wasser mittels direkter Sonneneinstrahlung entsalzen und reinigen. Laut Herstellerangaben produzieren sie maximal 1,7 Liter gereinigtes Trinkwasser pro 24h, halten etwa 5 Jahre, kosten ca. 50 Euro und haben einen Wirkungsgrad von $\eta =40\%=0{,}4$. Ebenfalls ermöglichen Watercones durch Kondensierung, die Bodenfeuchte aufzufangen und als Trinkwasser zu verwenden.

Die Nachhaltigkeitsziele betreffend geht dieses Thema damit klar in Richtung SDG 6: Clean Water and Sanitation.

Modellierungsproblem

Fragestellung

• Wie viele Watercones müsste man in Mosambik einsetzen um die 13,25 Millionen Menschen ohne Wasser mit sauberem Trinkwasser zu versorgen?
• Wie viel Geld müsste jährlich zur Verfügung stehen, um langfristig die Wasserversorgung der Bevölkerung zu sichern?

Zuordnung zu den Nachhaltigkeitszielen der Vereinten Nationen

• Clean Water and Sanitation

Methodenvergleich

(Solar Water DISinfection SODIS) Vergleichen Sie die Konzepte eine solaren Wasseraufbereitungsanlage mit Solar Water Disinfection! Welche Ähnlichkeiten und Unterschiede sehen Sie in beiden Konzepten. Kann man diese Unterschiede mathematisch Quantifizieren? Wie viel Einkommen muss eine Familie haben um sich einen Solar Cone besitzen und wie viel Geld benötigt man für die Anwendung von SODIS?

Kann man aus Abfall PET-Flaschen eine solare Wasserdestille bauen und wie effizient ist diese nach Ihren Berechnungen?

Fachwisssenschaftliche Grundlagen

• Proportionale Zusammenhänge
• Trigonometrie
• Integration
• Spline Interpolation
• Funktionsgraph
• Solare Meerwasserentsalzung
• Verdunstung
• Watercone - Produktseite
• Wasserversorgung in Mosambik
• Mindestbedarf - Trinkwasser
• Bevölkerung Mosambik
• Wetterdaten Mosambik

Softwarenutzung

• Geogebra
• Tabellekalkulation DGS
• Maxima CAS

Modellierungszyklus 0: Proportionale Zusammenhänge

Ergebnisse der ersten einfachen Rechnung zur benötigten Anzahl an Watercones und deren Kosten

In Mosambik brauchen $n=13{,}25$ Millionen Menschen täglich $V_{Bedarf}=2$ Liter Wasser. Dies entspricht einem täglichen Bedarf von $V_{Gesmat}=26{,}5$ Millionen Liter Wasser, der mit den Watercones gedeckt werden soll. Ein Watercone produziert am Tag $V_{Watercone}=1{,}7$ Liter Wasser. Als Gesamtzahl an Watercones, die in Mosambik benötigt werden, erhält man:

$m={\frac {n\cdot V_{Bedarf}}{V_{Watercone}}}=15,588$ Millionen Watercones        (0.1)

Aus Lebensdauer von $h=5$ Jahren und der Preis von $k=50$ Euro pro Watercone. erhält man folgende Kosten $K$ pro Jahr:

$K=m\cdot {\frac {k}{h}}={\frac {n\cdot V_{Bedarf}}{V_{Watercone}}}\cdot {\frac {k}{h}}=155{,}88$ Millionen Euro pro Jahr        (0.2)

Reflexion

In dieser Rechnung wurden idealisierte Werte verwendet. So produziert ein Watercone laut Herstellerangaben maximal 1,7 Liter Wasser Pro Tag und nicht in der Regel. Da Mosambik in den Tropen liegt, benötigen die Menschen dort wegen der Hitze mehr als 2 Liter Wasser. Die erhaltenen Werte dienen jedoch als Vergleichswerte für die folgenden Zyklen, in denen der Einfluss der Sonnenenergie auf die Produktion von verdunstetem Wasser berücksichtigt wird.

Modellierungszyklus 1: Wassermenge In Abhängigkeit des sich im Laufe des Tages ändernden Sonnenwinkels

Ziel dieses Zyklus ist es herauszufinden, wie viel Wasser ein Watercone theoretisch produzieren kann, wenn man dazu die durch die Sonne eingestrahlte Energie über ein ganzes Jahr betrachtet und davon ausgeht, dass die gesamte eintreffende Energie für die Verdunstung des Wassers verwendet wird. Es wird angenommenn, dass die Sonnenscheindauer am Tag $12$ Stunden bzw. $43.200$ Sekunden dauert, dass der Sonnen-Einstrahlungswinkel bezüglich der Deklination immer $\alpha =90^{\circ }$ beträgt und dass klares Wetter herrscht. Dazu nötig sind grundlegende physikalische Formeln, trigonometrische Funktionen sowie Integralrechnungen. Es wird sich somit auf SekII-Niveau bewegt.

Solarkonstante

Die Solarkonstante gibt an mit welcher Leistung die Sonne pro Quadratmeter außerhalb der Erdatmosphäre einstrahlt, wenn Sie im Zenit steht.

$E_{0}=1367\ \mathrm {\frac {W}{m^{2}}} =1367\ \mathrm {\frac {J}{m^{2}\,s}} =1367\ \mathrm {\frac {kg}{s^{3}}}$        (1.1)

Eingestrahlte Energie pro Quadratmeter

Sonneneinstrahlungswinkel: Herleitung der Sinusfunktion

Um die Gesamtenergie, die durch die Sonne pro Jahr pro Quadratmeter auf Mosambik trifft zu berechnen, ist es zunächst wichtig zu bestimmen wie viel Energie pro Tag pro Quadratmeter auf die Erde trifft. Dabei muss der Winkel, den die Sonnenstrahlen gegenüber der Erdoberfläche hat, berücksichtigt werden (z.B. trifft am Morgen und am Abend weniger Energie auf die Erdoberfläche als Mittags, wenn die Sonne im Zenit steht). Dieser Winkel geht über den Sinus in die Funktion ein, da je nach Sonneneinstrahlwinkel nur ein gewisser Anteil der Sonnenenergie auf die Erdoberfläche trifft. Die Herleitung wird in der nebenstehenden Grafik verdeutlicht. Mithilfe der Solarkonstanten lässt sich diese tägliche Gesamtenergie $E_{ges}$ berechnen. Dabei ist $t_{0}=0$ der Tagesanfang (Beginn der Sonneneinstrahlung) und $t_{E}=43.200$ die vergangene Zeit bis zum Sonnenuntergang in Sekunden. $A$ ist die Fläche, auf die die Sonnenstrahlung wirkt.

$E_{ges}=\int _{t_{0}}^{t_{E}}cE_{0}A\sin({\frac {t}{t_{E}}}\pi )\mathrm {d} t$

$E_{ges}=cE_{0}A\cdot {\frac {2t_{E}}{\pi }}$       (1.2)

Die Konstante $c$ beschreibt die durchlässigkeit der Atmosphäre. Bei klarem Wetter kommen etwa $75\%$ der Sonnenstrahlen durch die Atmosphäre. Demnach ist $c=0,75$. Für die pro Tag eintreffende Gesamtenergie pro Quadratmeter gilt also:

$E_{ges}=28.196.399$ $J$

Multipliziert man dieses Ergebnis mit den $365$ Tagen im Jahr, so erhält man eine jährliche Gesamtenergie pro Quadratmeter von $E_{ges,Jahr}=1{,}029\cdot 10^{10}$ $J$

Verdunstete Wassermenge pro Quadratmeter pro Jahr

Die Verdampfungswärme von Wasser beträgt $c_{v}=2257{\frac {kJ}{kg}}$. Unter berücksichtigung des Wirkungsgrades $\eta$ lässt sich die Masse des durch die jährliche Energiemenge $E_{ges,Jahr}$ verdampften Wassers berechnen durch:

$m_{ges,Jahr}=\eta \cdot {\frac {E_{ges,Jahr}}{c_{v}}}$       (1.3)

$m_{ges,Jahr}=0{,}4\cdot {\frac {1{,}029\cdot 10^{10}J}{2.257.000{\frac {J}{kg}}}}=1823kg$

Benötigte Watercones & Kosten

Die Fläche eines Watercones beträgt ca. $A=0{,}5m^{2}$. Pro Jahr, pro Watercone kann daher ca. $911{,}5kg$ Wasser umgesetzt werden; Pro Tag ca. $2{,}5kg$ bzw. $2{,}5l$, unter der Annahme, dass ein kg Wasser, einem Liter entspricht. Nimmt man sich nun die Formeln (0.1) und (0.2) zur Hilfe, lässt sich die Anzahl und die Kosten der benötigten Watercones bestimmen:

Es werden in Mosambik $10{,}6$ Millionen Watercones mit jährlichen Kosten von $106$ Millionen Euro benötigt.

Modellierungszyklus 2: Beachtung der Deklination der Erde

Darstellung der Deklination der Erde

Anhand dieser Funktion ist die in Abhängigkeit vom Tag d zugehörige Deklination der Erde erkennbar

Im Laufe des Jahres ändert sich der Deklinationswinkel der Erde bezüglich der Sonne, wodurch die verschiedenen Jahreszeiten entstehen. In diesem Zyklus wird die Rechnung weiter präzisiert, indem nun Rücksicht auf die Deklination der Erde genommen wird. Es wird weiterhin davon ausgegangen, dass die gesamte einfallende Energie in die Verdunstung des Wassers übergeht, dass klares Wetter herrscht und die Sonnenscheindauer am Tag $12$ Stunden bzw. $43.200$ Sekunden beträgt.

Deklination der Erde

Die Deklination in der Astronomie (lateinisch für „Abweichung, Beugung“) bezeichnet die radiale Abweichung der Drehachse der Erde von der Drehachse der Sonne, wenn man diese durch einen seitlichen Schnitt betrachtet. Durch den Umlauf der Erde um die Sonne ändert sich im Laufe des Jahres diese Deklination. Ausgangspunkt ist zunächst der 21. März, da hier die Sonne beim Äquator im Zenit steht und somit die Deklination $0^{\circ }$ beträgt. Dabei schwankt sie im Laufe eines Jahres zwischen $\alpha =+23{,}5^{\circ }$, wenn die Nordhalbkugel der Sonne zugewandt ist und $\alpha =-23{,}5^{\circ }$, wenn die Südhalbkugel der Sonne zugewandt ist. Diese Schwankung ist periodisch und lässt sich als Sinus-Funktion darstellen, da sie sich jährlich wiederholt. Für die Periodendauer $T$ ergibt sich demnach $T=365$ Tage. Zunächst wird eine einfache periodische Funktion mit der Periodendauer $T$ hergeleitet:

$\alpha (d)=\sin({\frac {d}{T}}2\pi )$ mit $d$ in Tagen

Da diese Funktion zwischen $+23{,}5^{\circ }$ und $-23{,}5^{\circ }$ schwanken soll, müssen wir nun die Amplitude der Funktion anpassen. Man erhält folgende Funktion:

$\alpha (d)={\frac {23{,}5^{\circ }}{360^{\circ }}}2\pi \cdot \sin({\frac {d}{365}}2\pi )$

Nach dem 21. März neigt sich zunächst die Nordhalbkugel der Sonne zu. Dies bedeutet, dass die Sinus-Funktion zuerst zu $\alpha =+23{,}5^{\circ }$ anwachsen muss. Dies ist bei der bis jetzt vorhandenen Funktion bereits gegeben, weshalb kein Vorzeichenwechsel durchgeführt werden muss. Da das Jahr allerdings am 1. Januar anfängt, muss nur noch die Funktion entlang der x-Achse verschoben werden, sodass der Koordinatenursprung den 1. Januar darstellt. Dazu muss die Funktion um 79 Tage nach rechts verschoben werden. Wir erhalten als unsere finale Funktion:

$\alpha (d)={\frac {23{,}5^{\circ }}{360^{\circ }}}2\pi \cdot \sin({\frac {d-79}{365}}2\pi )$        (2.1)

Diese Funktion gibt in Abhängigkeit vom Tag $d$ des Jahres die zugehörige Deklination der Erde an.

Eingestrahlte Energie pro Quadratmeter

Herleitung des Sonneneinstrahlungswinkel ϵ aus der Deklination α und der geographischen Breite β

Für die Gesamtenergie, die pro Tag, pro Quadratmeter einstrahlt gilt nach Zyklus 1, Formel (1.2):

$E_{ges}=cE_{0}A\cdot {\frac {2t_{E}}{\pi }}$        (1.2)

Für den Einfallswinkel der Sonnenstrahlen $\epsilon$ in Abhängigkeit der Deklination $\alpha$ und der geographische Breite $\beta$ erhalten wir (siehe Herleitung in der nebenstehenden Grafik):

$\epsilon (d)=\alpha (d)+{\frac {\pi }{2}}-\beta$        (2.2)

$\epsilon (d)={\frac {23{,}5^{\circ }}{360^{\circ }}}2\pi \cdot \sin({\frac {d-79}{365}}2\pi )+{\frac {\pi }{2}}-\beta$

wobei $\beta$ der Breitengrad von Mosambik ist. Um nun die jährliche Gesamtenergie zu erhalten müssen die einzelnen Tage unter Berücksichtigung der jeweiligen Deklination aufsummiert werden. Dabei geht der Deklinationswinkel $\alpha$ aus dem selben Grund wie auch bei Zyklus 1 per Sinus in die Funktion ein. Wir erhalten:

$E_{ges,Jahr}=\sum _{d=1}^{365}\sin(\epsilon (d))\cdot cE_{0}A\cdot {\frac {2t_{E}}{\pi }}$        (2.3)

$E_{ges,Jahr}=\sum _{d=1}^{365}\sin({\frac {23,5^{\circ }}{360^{\circ }}}2\pi \cdot \sin({\frac {d-79}{365}}2\pi )+{\frac {\pi }{2}}-\beta )\cdot cE_{0}A\cdot {\frac {2t_{E}}{\pi }}$

Mosambik hat einen durchschnittlichen Breitengrad von $\beta =-18{,}6^{\circ }$. Nach Einsetzen der Konstanten erhalten wir folgende Energiemenge pro Jahr pro Quadratmeter:

$E_{ges,Jahr}=0{,}935\cdot 10^{10}J$

Verdunstete Wassermenge pro Quadratmeter pro Jahr

Aus Formel (1.3) lässt sich nun die Masse des durch die Energiemenge $E_{ges,Jahr}$ verdampften Wassers berechnen:

$m_{ges,Jahr}=\eta \cdot {\frac {E_{ges,Jahr}}{c_{v}}}=0{,}4\cdot {\frac {0{,}935\cdot 10^{10}J}{2.257.000{\frac {J}{kg}}}}=1657kg$

Benötigte Watercones & Kosten

Die Fläche eines Watercones beträgt ca. $A=0{,}5m^{2}$. Pro Jahr und pro Watercone kann daher ca. $828{,}5kg$ Wasser umgesetzt werden; Pro Tag ca. $2{,}3kg$ bzw. $2{,}3l$, unter der Annahme, dass ein kg Wasser einem Liter entspricht. Nimmt man sich nun die Rechnung aus Zyklus 0 zur Hilfe, lässt sich die Anzahl und die Kosten der benötigten Watercones bestimmen:

Es werden in Mosambik $11{,}5$ Millionen Watercones benötigt, mit jährlichen Kosten von $115$ Millionen Euro.

Modellierungszyklus 3: Betrachtung der Täglichen Sonnenscheindauer

Im Laufe des Jahres ändert sich nicht nur der Einfallswinkel der Sonnenstrahlen sondern auch die durch die Deklination der Erde abhängige Sonnenscheindauer. Ziel dieses Zyklus ist es die durch die Deklination der Erde verursachte, täglich ändernde Sonnenscheindauer in der Gleichung zu berücksichtigen. Es wird weiter davon ausgegangen, dass klares Wetter herrscht (dies bedeutet, dass $c=0,75$ gilt).

Sonnenscheindauer in Abhängigkeit von der Deklination

Herleitung der astronomischen Sonnenscheindauer in Abhängigkeit der Deklination und der geographischen Breite

Die astronomische Sonnenscheindauer bezeichnet die maximal mögliche Sonnenscheindauer die unter Idealbedingungen möglich ist. Idealbedingungen bedeutet in diesem Fall, dass die Sonne ungehindert von Bergen am Horizont, Wolken oder dergleichen scheinen kann. Diese astronomische Sonnenscheindauer ist für die Berechnung der jährlichen Gesamtenergie pro Quadratmeter wichtig, da je nach Jahreszeit die Sonne unterschiedlich lang scheint. Um diese Sonnenscheindauer herzuleiten, betrachten wir zunächst die rechte Grafik. An der Draufsicht erkennt man welcher radiale Anteil der Erde, bei einem bestimmten Breitengrad $\beta$, bei bestimmter Deklination $\alpha$ durch die Sonne bedeckt ist. Es wird angenommen, dass $\alpha =+23{,}5^{\circ }$ wenn die Sonne sich am nördlichen Wendekreis befindet und $\alpha =-23{,}5^{\circ }$, falls sich die Sonne am südlichen Wendekreis befindet. Aus diesem Anteil lässt sich später die Sonnenscheindauer berechnen. Wir nehmen dabei an, dass die Erde von der Seite betrachtet einen Einheitskreis darstellt, da der Radius für unsere Berechnung irrelevant ist.

Ist die Deklination $\alpha$ und der Breitengrad $\beta$ bekannt, lässt sich der zusätzlich beleuchtete Abschnitt $a$ des Breitengrades berechnen. Durch Verwendung des Tangens erhalten wir: $\tan(\alpha )={\frac {a}{\sin(\beta )}}$. Es gilt somit:

$a=\tan(\alpha )\cdot \sin(\beta )$

Von oben betrachtet, ist es ersichtlich, dass der Winkel $\gamma$ wie folgt berechnet werden kann:

$\sin(\gamma )={\frac {a}{\cos(\beta )}}$

$\sin(\gamma )={\frac {\tan(\alpha )\cdot \sin(\beta )}{\cos(\beta )}}$

$\sin(\gamma )=\tan(\alpha )\cdot \tan(\beta )$

Somit gilt für den Winkel $\gamma$:

$\gamma =\arcsin(\tan(\alpha )\cdot \tan(\beta ))$        (3.1)

Der beleuchtete Teil der Erde (bei bestimmter Deklination und bestimmtem Breitengrad) lässt sich durch $\delta =\pi +2\gamma$ (3.2) (mit $\pi =180^{\circ }$) ausdrücken (siehe Abbildung rechts: Draufsicht). Um nun die Sonnenscheindauer $t_{E}$ in Sekunden zu erhalten, multiplizieren wir den Anteil des beleuchteten Breitengrades ${\frac {\delta }{2\pi }}$ mit der Tageslänge von $24h=86.400s$:

$t_{E}(\delta )=\delta \cdot {\frac {86.400s}{2\pi }}$

Für die Sonnenscheindauer $t_{E}$ in Abhängigkeit von der Deklination $\alpha$ und der geographischen Breite $\beta$ erhält man nach einsetzen von $\delta$:

$t_{E}(\alpha ,\beta )=(2\cdot \arcsin(\tan(\alpha )\cdot \tan(\beta ))+\pi )\cdot {\frac {86.400s}{2\pi }}$        (3.3)

Aus dem Zyklus 2 ist die vom Tag abhängige Deklination bereits bekannt als:

$\alpha (d)={\frac {23{,}5^{\circ }}{360^{\circ }}}\cdot 2\pi \cdot \sin({\frac {d-79}{365}}\cdot 2\pi )$

Setzt man diese beiden Formeln ineinander ein, erhält man:

$t_{E}(d,\beta )=(2\cdot \arcsin(\tan({\frac {23{,}5^{\circ }}{360^{\circ }}}\cdot 2\pi \cdot \sin({\frac {d-79}{365}}\cdot 2\pi ))\tan({\frac {\beta }{360^{\circ }}}\cdot 2\pi )+\pi )\cdot {\frac {86.400s}{2\pi }}$        (3.4)

Eingestrahlte Energie

Nach Zyklus 2 gilt dies Formel für die jährlich einstrahlende Energie pro Quadratmeter:

$E_{ges}=\sum _{d=1}^{365}\sin({\frac {23{,}5^{\circ }}{360^{\circ }}}2\pi \cdot \sin({\frac {d-79}{365}}2\pi )+{\frac {\pi }{2}}-\beta )\cdot cE_{0}A{\frac {2\cdot t_{E}(\alpha )}{\pi }}$

Ersetzt man in dieser Formel die Tageslängen $t_{E}$ mit der eben hergeleiteten Formel und setzt man für $\beta$ den Mosambikanischen Mittelwert von $-18{,}6^{\circ }$ ein, erhält man:

$E_{ges}=\sum _{d=1}^{365}\sin({\frac {23{,}5^{\circ }}{360^{\circ }}}\cdot 2\pi \cdot \sin({\frac {d-79}{365}}\cdot 2\pi )+{\frac {\pi }{2}}-\beta )\cdot cE_{0}A{\frac {2\cdot (2\cdot \arcsin(\tan({\frac {23{,}5^{\circ }}{360^{\circ }}}\cdot 2\pi \cdot \sin({\frac {d-79}{365}}\cdot 2\pi ))\tan({\frac {\beta }{360^{\circ }}}\cdot 2\pi ))+\pi )\cdot {\frac {86.400s}{2\pi }}}{\pi }}$

$E_{ges}=0{,}951\cdot 10^{10}J$

Betrachtet man die Energiedichte der unterschiedlichen Breitengrade so ist anzunehmen, dass die Energiedichte in Richtung des Äquators zunimmt. In der folgenden Abbildung haben wir die varriierende Energiedichte als Heatmap dargestellt.

Verdunstete Wassermenge pro Jahr

Als verdunstete Wassermenge pro Jahr und pro Quadratmeter erhalten wir:

$m=\eta \cdot {\frac {E_{ges}}{c_{v}}}=0{,}4\cdot {\frac {0{,}951\cdot 10^{10}J}{2.257.000{\frac {J}{kg}}}}=1685kg$

Benötigte Watercones & Kosten

Die Fläche eines Watercones beträgt ca. $A=0{,}5m^{2}$. Pro Jahr, pro Watercone können daher ca. $842{,}5kg$ Wasser umgesetzt werden; Pro Tag ca. $2{,}3kg$ bzw. $2{,}3L$, unter der Annahme, dass ein kg Wasser einem Liter entspricht. Nimmt man sich nun die Rechnung aus Zyklus 0 zur Hilfe, lässt sich die Anzahl und die Kosten der benötigten Watercones bestimmen:

Es werden in Mosambik $11{,}5$ Millionen Watercones benötigt, mit jährlichen Kosten von $115$ Millionen Euro.

Modellierungszyklus 4: Atmosphärische Absorption

Tabelle 1

Bisher galt die Annahme, dass zu jeder Zeit 75% der durch die Sonne eingestrahlten Energie auf der Erdoberfläche ankommt. Aufgrund ändernder Bewölkung, Verschmutzung oder auch leicht variabler Zusammensetzung der Erdatmosphäre wird unterschiedlich viel oder wenig Sonnenstrahlung absorbiert. Bristow and Campbell entwickelten eine Formel, die diesen in Abhängigkeit der maximalen täglichen Temperaturdifferenz $\Delta T$ näherungsweise berechnen kann. Diesen Faktor nannten sie $T_{t}$. Er berechnet sich mit folgender Formel:

$T_{t}=A(1-e^{-B\Delta T^{C}})$

$A$, $B$ und $C$ sind empirsch ermittelte Konstanten. $A$ bezeichnet "The Maximum Clear Sky" und $B$ und $C$ beschreiben "how soon maximum $T_{t}$ is achieved as $\Delta T$ increases". Als Faktor $A$ wurden $0{,}7$ ermittelt und als Faktor $C$ $2{,}4$. Diese Werte sind empirisch für die Standorte Seattle, Great Falls und Pullman in den USA entwickelt.

Tabelle 2

Für die Berechnung von $B$ ist eine Formel gegeben:

$B=0{,}036e^{-0{,}154{\bar {\Delta }}{\bar {T}}}$

${\bar {\Delta }}{\bar {T}}$ ist die gemittelte monatliche maximale Temperaturdifferenz. Demzufolge erhält man für jeden Monat einen anderen Wert für $B$. Bristow und Campbell haben somit aus gemessenen Werten der maximalen täglichen Temperaturdifferenz und des täglichen Transmissionskoeffizienten eine lokal gültige Formel entwickelt.

Auf die gleiche Weise wollen wir eine Formel für Mosambik berechnen. Leider sind diese Daten sehr speziell und somit nicht für Mosambik verfügbar. Da es aber mehr um das das mathematische Vorgehen als um absolute Exaktheit geht, werden wir für die täglichen Temperaturdifferenzen Werte aus Johannesburg verwenden. Dazugehörige Transmissionswerte gibt es keine, weswegen wir uns diese plausibel ausdenken. In nebenstehender Tabelle 1 sieht man die Werte mit denen nun weitergerechnet wird. Die unten stehenden Werte in Tabelle 1 geben die monatliche Durchschnittstemperatur an.

Abbildung(*)

Im nächsten Schritt wurden diese Werte nach Temperaturdifferenzen sortiert, wie in Tabelle 2 zu sehen ist. Unten befinden sich die Mittelwerte der zu den verschiedenen Temperaturdifferenzen gehörigen Transmissionskoeffizienten. So kann jeder Temperaturdifferenz ein Transmissionskoeffizient zugeordnet werden. Veranschaulicht ist dieses Ergebnis in Abbildung (*). Um nun eine Funktion zu ermitteln wird eine Spline Interpolation durchgeführt. Mit Berechnung in Maxima kommt man auf folgende Funktion:

Spline-Funktion

Errechnete Transmissionskoeffizienten

Mit der obigen Formel lassen sich nun die Transmissionskoeffizienten ausrechnen. Da die Funktion nur zu Temperaturdifferenzen aus Johannesburg (Südafrika) passt, verwenden wir auch die Temperaturdifferenzen dieser Stadt um monatliche Transmissionskoeffizienten zu erhalten. Die nachfolgende Grafik zeigt unsere Ergebnisse:

Diese Werte werden im nachfolgenen Abschnitt dazu verwendet die monatliche Sonnen-Energiedichte der einzelnen Provinzen in Mosambik zu berechnen.

Eingestrahlte Gesamtenergie

Ersetzt man die atmosphärische Durchlässigkeit $c$ mit dem monatlichen Transmissionskoeffizienten und summiert die Tage dieses Monats auf, so erhält man die eingestrahlte monatliche Energie pro Quadratmeter. Dies wurde für jede Provinz einzeln gemacht (unterschidlicher Breitengrad $\beta$). Anschließend summiert man die Monatlichen Werte pro Quadratmeter zu der jährlich eingestrahlten Energie pro Quadratmeter auf. Um einen Mittelwert für ganz Mosambik zu erhalten, wird der wirkende Anteil jeder Provinz als Anteil ihrer Fläche zu ganz Mosambik bestimmt. Exemplarisch erhält man für jede Provinz folgende Gleichung: $E_{ges}=T_{Januar}\sum _{d=1}^{31}\sin(\epsilon (\alpha ,\beta ))\cdot E_{0}A{\frac {2\cdot t_{E}(\alpha )}{\pi }}+T_{Februar}\sum _{d=32}^{49}\sin(\epsilon (\alpha ,\beta ))\cdot E_{0}A{\frac {2\cdot t_{E}(\alpha )}{\pi }}+...+T_{Dezember}\sum _{d=335}^{365}\sin(\epsilon (\alpha ,\beta ))\cdot E_{0}A{\frac {2\cdot t_{E}(\alpha )}{\pi }}$


Man erhält:

$E_{ges,Jahr}=0{,}795\cdot 10^{10}J$ pro Jahr pro Quadratmeter.

Verdunstete Wassermenge pro Jahr

Als verdunstete Wassermenge pro Jahr, pro Quadratmeter erhalten wir:

$m=\eta \cdot {\frac {E_{ges}}{c_{v}}}=0{,}4\cdot {\frac {0{,}795\cdot 10^{10}J}{2.257.000{\frac {J}{kg}}}}=1409kg$

Benötigte Watercones & Kosten

Die Fläche eines Watercones beträgt ca. $A=0{,}5m^{2}$. Pro Jahr, pro Watercone kann daher ca. $704{,}5kg$ Wasser umgesetzt werden; Pro Tag ca. $1{,}9kg$ bzw. $1{,}9L$, unter der annahme, dass ein kg Wasser, einem Liter entspricht. Nimmt man sich nun die Rechnung aus Zyklus 0 zur Hilfe, lässt sich die Anzahl und die Kosten der benötigten Watercones bestimmen:

Es werden in Mosambik $13{,}9$ Millionen Watercones benötigt, mit jährlichen Kosten von $139$ Millionen Euro.

Ausblick & Reflexion

Auf den zweiten Blick erkennt man, dass eine Spline Interpolation hier ungeeignet ist, da es sich bei den interpolierten Koordinaten lediglich um Messwerte handelt, die fehlerbehaftet sind. Wenn mehr Messwerte zur Verfügung stünden wäre es sinnvoll die Näherungsfunktion der Transmissivität als gewichtete Funktion zu interpolieren.

Ein nächster Zyklus könnte auf die verfügbaren Wasserreserven und Niederschlag von Mosambik eingehen. Dort wo viel Niederschlag ist, werden weniger Watercones benötigt, da das Regenwasser auch als saubere Wasserquelle angesehen werden kann.

Watercones werden aus Plastik hergestellt, welches mit der Produktion auch in den Naturkreislauf gerät. Dies steht im Widerspruch zu dem 'Sustainable Development Goal 12 (responsible consumption and production)'. Eine gute Alternative wäre hier 'Solar Water DISinfection' SODIS, da hierzu bereits vorhandener Plastikmüll in Form von PET-Flaschen wiederverwendet wird um Wasser zu desinfizieren. Damit wird verhindert bzw. verzögert, dass dieser Müll in die Weltmeere gespült wird. Hierbei kann Wasser allerdings nicht entsalzt werden.

Siehe auch

• Kurs:Mathematische Modellbildung
• Bahn der Sonne als Geogebra-Applet

Literatur

Bristow, Keith L. & Campbell, Gaylon S. (1984): Titel. In: Agricultural and Forest Meteorology (31): S.159-166