Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Modellierung des Infektionsgeschehens durch SARS-CoV-2/Modellierungszyklus 1

In Zyklus 1 betrachten wir das Infektionsgeschehen von Covid-19 vereinfacht. Mit Hilfe dieser Vereinfachung soll klar werden:

Was ist exponentielles Wachstum
Wie entsteht exponentielles Wachstum
Was impliziert dieser Wachstum
Wo liegt das Problem in Bezug auf ein Infektionsgeschehen

Modellierung Exponentielles Wachstum

Hierzu blenden wir zunächst aus, dass Menschen irgendwann gesund werden und setzen die Fallzahl mit aktuell Infizierten gleich.

Für unsere erste Veranschaulichung gehen wir zunächst davon aus, dass es in unserem Gebiet 100 Infizierte gibt.

Mathematisch könnte man dies etwa so schreiben:

$f(0)=100$

Außerdem gehen wir davon aus, dass jede dieser Infizierten innerhalb von einer Woche eine weitere Person mit dem Virus infiziert. Damit haben wir bereits einen wichtigen Begriff eingeführt, nämlich den Wachstumsfaktor (auch Reproduktionswert). So lässt sich bspw. die Anzahl der Infizierten nach 4 Wochen berechnen:

$f(4)=100\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=100\cdot 2^{4}=1600$

Allgemeine Formel für Faktor 2

Verallgemeinert man die Formel also mit der Anzahl der Wochen t, so erhält man:

$f(t)=100\cdot 2^{t}$

Allgemein stellen wir fest, die Fallzahl nach t Wochen errechnet sich, indem die Anfangszahl t-mal mit 2 multipliziert wird.

Verdopplungszeit

Die Anzahl der Infektionen verdoppelt sich wöchentlich. Diesen Zeitraum nennt man Verdopplungszeit. Diese lässt sich relativ einfach mit folgender Formel beschreiben:

$f(T_{2})=2N_{0}$ , wobei sich der Anfangswert $N_{0}$ nach $T_{2}$ verdoppelt.

In unserem Fall also $100\cdot 2^{t}=200$ , also für $t=1$ .

Entwicklung der Infektionswerte

Betrachten wir nun die Infektionswerte, so sehen wir einen exponentiellen Anstieg der Werte, welcher zu über 100.000 Infektionen nach nur 10 Wochen führt.

Führen wir diesen Trend weitere 10 Wochen fort, passieren wir die 100 Millionen Infizierte.

Manipulation des Reproduktionsfaktors

Was jedoch, wenn wir den Wachstumsfaktor von 2 auf beispielsweise 1.2 verringern?

Führen wir die Rechnung durch so erhalten wir nach 20 Wochen:

 $f(20)=100*1.2^{20}\approx 3800$

Eine Veranschaulichung der Relevanz des Wachstumsfaktor bietet folgende GeoGebra Datei:

Problematik des exponentiellen Wachstums

Nun stellt sich uns ein Problem, welches sich durch unsere Vereinfachungen aufbaut. Diese exponentielle Entwicklung kann nicht ewig mit gleicher Reproduktion weiterlaufen, da wir selbst mit einem Wachstumsfaktor von 1.2 früher oder später die Bevölkerungszahl der gesamten Erde überschreiten würden.

Welche Modifikationen müssen wir treffen um das Infektionsgeschehen genauer modellieren zu können? Und vor allem, was könne wir tun, um die Pandemie einzudämmen und das Gesundheitssystem zu entlasten?