Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Modellierung des Infektionsgeschehens durch SARS-CoV-2/Zyklus 2

Modellierungszyklus 2

Reproduktionsfaktor, Spahn-Modell und logistisches Wachstum

Der Reproduktionsfaktor

Der Reproduktionsfaktor beschreibt, wie in Zyklus 1 bereits erwähnt, die Entwicklung der Neuinfektionen im Vergleich zum Vortag oder der Woche zuvor. Diesen Reproduktionsfaktor kann man etwas genauer modellieren.

Dazu nehmen wir an:

$\Delta N_{d}=E\cdot p\cdot N_{d}$ mit:

$\Delta N_{d}$ = Neuinfektionen pro Tag

$E$ = Anzahl an Begegnungen mit Infizierten Personen

$p$ = Wahrscheinlichkeit, dass aus der Begegnung eine Infektion entsteht

Allgemeine rekursive Formel für Neuinfektionen

$\Delta N_{d+1}=N_{d}+E\cdot p\cdot N_{d}=(1+E\cdot p)\cdot N_{d}$

Das Spahn-Modell

Das Spahn-Modell

Folgerung - Spahn-Modell

Betrachten wir das Infektionsgeschehen in einem Zeitraum von 18 Monaten mit 58 Millionen Gesamtinfektionen, so sehen wir, dass wir im Peak etwa 4,8 Millionen Neuinfektionen im Monat erreichen. Dieser Wert übersteigt deutlich die Kapazitätsgrenze des deutschen Gesundheitssystems.

Strecken wir nun jedoch das Infektionsgeschehen mit Hilfe der Verringerung der Reproduktionszahl auf bspw. 36 Monate bleiben wir bei gleicher Gesamtinfektionen mit 2,4 Millionen Neuinfektionen im Monat deutlich unter der Kapazitätsgrenze.

Vom exponentiellem zum logistischem Wachstum

Wie in Zyklus 1 bereits erwähnt, macht eine rein exponentielle Modellierung des Infektionsgeschehen keinen Sinn, da es natürlich eine obere Schranke gibt, die nicht überschritten werden kann. In der Epidemiologie wird daher oftmals das logistische Wachstum gewählt, um Infektionsverläufe zu prognostizieren.

Formel logistisches Wachstum

$f(t)={\frac {S}{1+ae^{-kt}}}$

$S=$ obere Schranke, also 70% der deutschen Bevölkerung -> also etwa 56 Millionen

$t=$Zeit in Tagen

$a,k>0$ sind konstanten

Wachstumsformel Modellierungsbeispiel

$f(t)={\frac {56.000}{1+55.999e^{-0,139t}}}$

Funktion in GeoGebra