Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Modellierung des Infektionsgeschehens durch SARS-CoV-2/Zyklus 3

Das SI-Modell

Ein sehr einfaches Kompartiment-Modell ist die Unterteilung einer Population in lediglich zwei Kompartimente:

• Anteil der Nicht-Infizierten $S$ (Susceptible) an der Gesamtbevölkerung N: Eine Zahl zwischen 0 und 1
• Anteil der Infizierten $I$ (Infected)

In der Gruppe $I$ befinden sich Individuen, welche einmal durch den Erreger infiziert wurden (unabhängig davon, ob sie Symptome zeigen oder nicht).

Susceptibles können von dem Kompartiment $S$ durch eine Infektion in das Kompartiment $I$ wechseln.

Exponentielles Wachstum

Eine sehr einfache Annahme besteht darin, dass jeder Infizierte Susceptibles (aus einem unendlichen Vorrat) mit einer festen Rate infiziert.

$I(t)=C_{e}\cdot e^{\beta \cdot t}$,

also exponentielles Wachstum mit einer Infektionskontaktrate $\beta$ und $C_{e}$ als Anteil an Infizierten am Tag 0.

Das SIR-Modell

Beim vorigen SI-Modell infiziert ein Mitglied von ${\textstyle I}$ mit einer konstanten Infektionskontaktrate ${\textstyle \beta }$ "endlos" weiter.

Dies ist natürlich eine grobe Vereinfachung, der man durch die Einführung der Klasse ${\textstyle R}$ (Removed) im Kompartiment-Modell abhelfen will.

Das SIR-Modell

Die Erhaltungsgleichung wird um den Anteil ${\textstyle R}$ erweitert: ${\textstyle S+I+R=1}$.

Die Infektionsfunktion übernimmt man unverändert aus dem SI-Modell.

Die Gesundungs-Funktion führt nun Anteile aus ${\textstyle I}$ nach ${\textstyle R}$ mit einer Genesungsrate ${\textstyle \gamma }$ über:

${\frac {dR}{dt}}={\dot {R}}=f_{I}()=\gamma \cdot I$

Das SIR-Modell

Beim SIR-Modell kommen also zum einen neue Infizierte hinzu (${\textstyle S\rightarrow I}$, genauso wie beim SI-Modell), andere wechseln in die Gruppe (${\textstyle I\rightarrow R}$):

${\frac {dI}{dt}}={\dot {I}}={\dot {S}}-{\dot {R}}=f_{S}()-f_{I}()=\beta \cdot S\cdot I-\gamma \cdot I$

Das SIR-Modell

amit haben wir ein kleines System von Differentialgleichungen mit

${\textstyle {\dot {S}}=-\beta \cdot S\cdot I}$

${\textstyle {\dot {I}}=\beta \cdot S\cdot I-\gamma \cdot I}$

${\textstyle {\dot {R}}=\gamma \cdot I}$

Wegen $R+S+I=1$ ergibt sich ${\dot {R}}+{\dot {S}}+{\dot {I}}=0$.

Damit ergibt sich die dritte Differentialgleichung auch aus ${\dot {R}}=-{\dot {S}}-{\dot {I}}$. Sie braucht daher nicht integriert zu werden.

Lösung des Gleichungssystems mit Maxima

Auch Differentialgleichungssysteme lassen sich mit der rk()-Funktion leicht lösen. In den Klammern werden lediglich mehrere Gleichungen hintereinander eingefügt und durch Kommata getrennt:

/*SIR-Modell*/
beta: 0.3219;
gamma: 0.1;
I0: 1.93E-07;
sol: rk([ -beta*S*I ,
           beta*S*I-gamma*I],
           [S,I],
           [(1-I0),I0],
           [t,0,160,1])$
plot2d ([[discrete,makelist([p[1],p[2]],p,sol)],
         [discrete,makelist([p[1],p[3]],p,sol)],
         [discrete,makelist([p[1],1-p[3]-p[2]],p,sol)]] ,
         [xlabel,"t"],
         [legend,"Susceptibles","Infected","Removed"],
         [color, blue, red,green],
         [gnuplot_preamble, "set key box at 155.,.6" ])$

Die Basisreproduktionszahl

Eine oft genannte Kenngröße bei Epidemien ist die Basisreproduktionszahl ${\textstyle R_{0}}$. Sie gibt an, wie viele Andere eine Infizierte Person während der Phase der Infektiosität durchschnittlich ansteckt.

Für das SIR-Modell gilt :

$R_{0}={\frac {\beta }{\gamma }}$.

Mit den Werten für ${\textstyle \beta =0,3219}$ und ${\textstyle \gamma =0,1}$ würden wir als ${\textstyle R_{0}=3,219}$ erhalten. Dies liegt innerhalb der Schätzwerte ${\textstyle 2,4<R_{0}<3,3}$.