Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Neuronales Netz/Modellierungszyklus Sekundarstufe II

Ziel

• Sekundarstufe II: Einführung zusätzlicher Verfahren zur Darstellung und Prognose von Zählungsdaten
• Tieferes Verständnis für Muster und Zusammenhänge
• Fehlerfunktion zur Bewertung der Genauigkeit von Prognosen
• Minimierung von Fehlern durch präzisere Arbeit und Entwicklung eines Algorithmus
• Einbeziehung von Einflussfaktoren und Umwelteinflüssen für präzisere Ergebnisse
• Integration von Konfidenzintervallen zur Beurteilung von Daten
• Verbesserung der Genauigkeit der Zählungen

Mathematische Theorie

Differenzenfolgen

$d_{n}=f_{n+1}-f_{n}$

• n= Jahr und $f_{n}$ = Anzahl des Vogels pro Garten im Jahr n
• Analyse von Mustern und Regelmäßigkeiten
• Untersuchung von Funktionen hinsichtlich ihrer Steigung und Änderungsrate
• Ableitungen von Funktionen approximieren

Fehlerfunktion

• Abweichung zwischen tatsächlichem Wert und erwartetem Wert berechnen
• Bewertung von Messfehlern, Berechnung von Wahrscheinlichkeit, Fehleranalyse
• MSE= f(y,y₁) = (1/n) * Σ(y - y₁)^2
• n= Anzahl der Datenpunkte
• y=beobachtete Werte
• y₁=prognostizierte Werte

Definition

Sei $(\Omega ,{\mathcal {S}},P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum, $A\in {\mathcal {S}}$ mit $P(B)>0$.

Die Abbildung $P(\cdot |B):{\mathcal {S}}\to [0,1]$, die gemäß $P(A|B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}},A,B\in {\mathcal {S}}$ definiert ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung über $\Omega$ unter (der Bedingung) $B$.

Gesetz der großen Zahlen

• Nimmt Bezug auf die relative Häufigkeit eine Ereignisses und besagt, dass sich die relative Häufigkeit bei steigender Versuchszahl nεN stabilisiert.
• Es ist eine Erfahrungstatsache und nicht mathematisch beweisbar

Konfidenzintervalle

• statistisches Maß, das einen Bereich um einen Schätzwert angibt, innerhalb dessen ein Parameter mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit liegt
• Berücksichtigt Unsicherheit bei Schätzung des Parameters

Bezug zum Rahmenlehrplan

• L2 Messen: Konfidenzintervalle und Fehlerfunktion

--> 2.06g Lage- und Streumaße einer Stichprobe bestimmen und deuten
--> 2.07g Erwartungswert und Standardabweichung diskreter Zufallsgrößen bestimmen und deuten

• L5 Daten und Zufall: bedingte Wahrscheinlichkeit

--> 5.03g Teilvorgänge mehrstufiger Zufallsexperimente auf stochastische Unabhängigkeit anhand einfacher Beispiele 
    untersuchen

Modellierung

Differenzenfolge

• $d_{n}=f_{n+1}-f_{n}$

Daten Haussperling

+ Differenzenfolgen Anzahl Haussperling deutschlandweit pro Garten von 2006 bis 2022

Dargestellt ist der Haussperlingsbestand in Deutschland von 2006-2022

Differenzenfolgen Anzahl Haussperling deutschlandweit pro Garten von 2006 bis 2022

Fehlerfunktion Differenzenfolgen Anzahl Haussperling deutschlandweit pro Garten von 2006 bis 2022

Fehlerfunktion

• Graphische Abbildungen zeigen Fehlerfunktion von Haussperling und Amsel deutschlandweit pro Garten von 2006 bis 2022
• Funktion wird approximiert, indem eine Funktion gesucht wird, die dem Verlauf der Punkte entspricht
• Anpassung der Funktion durch Variieren der Parameter mit Hilfe von Schiebereglern in GeoGebra
• Fehlerfunktion quantifiziert den Abstand oder die Differenz zwischen den tatsächlichen und vorhergesagten Werten eines Modells
• Mittlerer quadratischer Fehler (MSE) wird berechnet, um den durchschnittlichen quadratischen Unterschied zu bestimmen
• MSE berücksichtigt alle Fehler und behandelt positive und negative Abweichungen gleich
• Größere Fehler werden stärker gewichtet, Ausreißer haben stärkeren Einfluss
• MSE ermöglicht Vergleich verschiedener Modelle und Auswahl des Modells mit dem geringsten Fehler
• MSE gerundet bei 0,000718

Prognose für die Zukunft

• Differenzenfolgen helfen bei der Identifizierung und Analyse mathematischer Reihen und Muster
• Trends und Veränderungen können erkannt werden, die auf zukünftige Entwicklungen hinweisen können
• Für realistische Prognosen sind weitere Informationen über Einflussfaktoren erforderlich
• Zeitreihenanalyse ermöglicht die Analyse von Daten, die über eine aufeinanderfolgende Reihe von Zeitpunkten gesammelt wurden
• Ziel der Zeitreihenanalyse ist es, Muster, Trends und Zusammenhänge zu identifizieren und Vorhersagen über zukünftige Werte oder Ereignisse zu treffen.

Bedingte Wahrscheinlichkeit am Bespiel der Silbermöve

Vogelmonitoring

• Semantisches Netz: Grafische Darstellung zur Repräsentation von Wissen und Bedeutung
• Verwendung in verschiedenen Bereichen wie künstlicher Intelligenz, Informationsverarbeitung und Wissensmanagement
• Unterstützung bei Verständnis, Suche und Verarbeitung von Informationen
• Anwendung zur Erstellung eines Algorithmus für das Monitoring von Vögeln
• Fehlerbehebungsmethoden und Wahrscheinlichkeiten zur Unterscheidung von Vogelarten, z.B. Blaumeise und Kohlmeise
• Schüler erarbeiten semantisches Netz zur besseren Unterscheidung von Vögeln
• Überprüfung der Relevanz von Items durch Anwendung des Algorithmus
• Konfidenzintervalle und Rastererkennung zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Vogelart

semantisches Netz

Semantisches Netz zum Vogelmonitoring

Konfidenzintervalle

${[Varianz]}={1 \over n-1}\cdot {\sum _{j=1}^{n}(x_{j}-x)^{2}}$

${[Standardabweichung]}={\sqrt {[Varianz]}}$

Berechnung des Konfidenzintervalls des Haussperlings 2010: Wir wählen das Konfidenzniveau von 95% bei einer Stichprobengröße von N=96 Landkreise. Damit ergeben sich folgende Intervallober- und untergrenzen

$x_{u}=4,487+1,96\cdot {1,673 \over {\sqrt {9}}6}=4,822$

$x_{o}=4,487-1,96\cdot {1,673 \over {\sqrt {9}}6}=4,152$

Berechnung des Konfidenzintervalls des Haussperlings 2020: Wir wählen das Konfidenzniveau von 95% bei einer Stichprobengröße von N=96 Landkreise. Damit ergeben sich folgende Intervallober- und untergrenzen

$x_{u}=4,94+1,96\cdot {1,295 \over {\sqrt {9}}6}=5,199$

$x_{u}=4,94-1,96\cdot {1,295 \over {\sqrt {9}}6}=4,68$

Vereinfachung und Bewertung des Modellierungszyklus

• Differenzenfolge und Fehlerfunktion gut für mehr Darstellungsformen aber nicht zielführend und sehr ungenau weil Regler auf GeoGebra individuell verstellt werden können
• kann nur bespielhaft dargestellt werden und nicht präzise für unser Beispiel ausgerechnet werden
• bedingte Wahrscheinlichkeit nur auf einen Einflussfaktor bezogen und nur auf eine Art angewendet
• nicht alle Einflussfaktoren bekannt für jede Art
• Algorithmus schreiben sehr schwer und überfordert Schüler und Schülerinnen, Fehlerbehebungsmethoden zu ungenau und ungewiss welche Fehler auftauchen
• gewichtete Graphen sehr komplex
• Matrizen können damit nicht eingeführt werden weil zu komplex nur für Fortführung geeignet
• Konfidenzintervalle verdeutlichen warum Gesetz der große zahlen wichtig ist
• große zahlen relevant für unsere Auswertung

Warum Libre Calc

• einfaches erstellen von Tabellen
• einfaches berechnen der Differenzenfolgen, Varianz, Standartabweichung etc.

Warum GeoGebra

• eintragen einzelner Punkte
• Anpassung einer Funktion mit Hilfe von Schiebereglern

--> Verdeutlichung der einzelnen Komponenten einer Sinusfunktion

• genaue und direkte Änderung des Graphen bei Anpassung der Funktionsgleichung mit Hilfe der Schieberegler

--> zeiteffizientes ausprobieren