Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Populationsdynamik

Pantoffeltierchen im Mikroskop

Hier entsteht ein Portfolio zur Mathematischen Modellbildung zum Thema Populationsdynamik

Gruppen

LarsHe

Modellierungsproblem

Pantoffeltierchen

In der Forschung ist oftmals die Zunahme oder Abnahme der Individuenanzahl in einer Population von Bedeutung. Verschiedenste Faktoren, wie Vorhandensein von Nahrung oder Fressfeinden, können der Grund für ein Wachstum oder Sterben einer Population sein. Wie lässt sich nun eine Veränderung vorhersagen? Als Ausgangspunkt für das Modell wird eine Pantoffeltierchenpopulation verwendet. Da das Paramecium unter anderem als Bioindikator für die Sauberkeit von Wasser verwendet werden kann, ist das Wachstum unter optimalen Bedingungen als erstes zu betrachten. Dies liefert Daten zum Vergleich mit den in der Natur vorkommenden Tieren und deren Verhalten.

Fachwissenschaftliche Grundlagen

• Exponentielles Wachstum
• Flächeninhalt
• Logistische Funktion
• Fitten
• Polynom-Interpolation/Newtonscher Algorithmus

Zuordnung des Themas zu den Nachhaltigkeitszielen der Vereinten Nationen

• SDG6 (Clean Water and Sanitation) Da Pantoffeltierchen u.a. als Bioindikatoren von sauberem Wasser verwendet werden, berücksichtigt das Thema den Bereich Sauberes Wasser (Clean Water).
• SDG3 (Good Health and Well-being): Zusammen mit der Indikatorfunktion der Pantoffeltierchen für sauberes Wasser und der elementaren Bedeutung von Wasser für die Gesundheit der Menschen und der Umwelt, berührt das Modellierungsthema auch den Bereich Gesundheit (SDG3)

Modellierungszyklus

Modellbildungszyklus

Zyklus 1

Mathematisches Modell

Als erste Annäherung wird von einem ovalen Tierchen mit einer gemittelten Größe von 175 Mikrometer ausgegangen. Nach der Formel π*a*b, wobei a und b für die Länge der Halbachsen steht, ergibt sich für ein Pantoffeltierchen ein Flächeninhalt von etwa 12.026 Mikrometer. Für eine kreisrunde Petrischale mit einem Durchmesser von 70 Millimeter erhalten wir, nach der Formel für den Flächeninhalt eines Kreises π*r^2, eine Fläche von 3.848.000 Mikrometer. Bei einem Nichtüberlappen ist Platz für 320 Tierchen. Als Nächstes ist ersichtlich, dass ein Pantoffeltierchen sich durch Teilung vermehrt. Somit ergibt sich, dass es sich hierbei um ein exponentielles Wachstum handelt, da sich die Population mit jeder Teilung verdoppelt. Eine exponentielle Funktion die unsere Bedingungen erfüllt, ist die Funktion f(x)= 2^x. Unter optimalen Bedingungen teilen sich die Tiere 7 mal pro Tag.

Mathematisches Resultat

Ausgehend von einem Tier in der Population bedeutet das, dass nach 8 vollständigen Teilungen der Platz in der Petrischale aufgebraucht ist. Somit ist also nach etwa 27 Stunden die maximale Populationsgröße erreicht, bei einer Nichtüberlappung der Tiere.

Abbildung 1: X-Achse: Anzahl der Teilungen Y-Achse: Anzahl der Tiere

Abbildung 2:Anzahl der Teilungen und Anzahl der Tiere in einer Tabellenkalkulation

Resultat in der Realsituation

Da Pantoffeltierchen dreidimensionale Objekte im dreidimensionalen Raum sind, ist schnell ersichtlich, dass diese Näherung weitab realer Zahlen ist. Für die Betrachtung des eigentlichen Problems der Vermehrung spielt dies nur bedingt eine Rolle. Zu Beachten ist, dass bei diesem ersten Herangehen, wie in Abbildung 1 ersichtlich, die Population weiter wächst. Somit muss nun in einem nächsten Schritt das Modell derart verändert werden, dass die Maximalanzahl der Tierchen nicht überschritten wird, trotz weiterer Teilungen.

Zyklus 2

Mathematisches Modell

Unter Berücksichtigung der Ergebnisse aus Zyklus 1 verwenden wir als nächst bessere Annäherung eine logistische Funktion. Dies wird gewährleisten, dass die Anzahl von 320 Tieren nicht überschritten wird. Hierfür definieren wir unsere Grenze G als 320. Weiterhin bleibt bestehen, dass mit einem Tier begonnen wird, was bedeutet, dass h(0)=1 ist und sich die Tiere mit jeder Teilung verdoppeln, also unser Wachstumsfaktor k=2 ist. Anschließend werden Schieberegler für G, a und b erzeugt. Dadurch lässt sich die Funktion mittels Befehl "fitten".

Mathematisches Resultat

Auch hier ausgehend von einem Tier in der Population bedeutet das, dass in diesem Modell bereits nach etwa 6 vollständigen Teilungen der Platz in der Petrischale aufgebraucht ist. Diesmal ist also nach etwa 18 Stunden die maximale Populationsgröße bereits erreicht. Gefittet allerdings verschiebt sich die Asymptote etwas nach unten.

Abbildung 3: Logistisches Wachstum: X-Achse: Anzahl der Teilungen Y-Achse: Anzahl der Tiere

Abbildung4: Ergebniss Logistisches Wachstum: t:Teilungen N(t): Anzahl der Tiere

Abbildung5: Logistische Funktion + Fitting

Resultat in der Realsituation

In dieser zweiten Annäherung nähert sich der Funktionsgraph nun asymptotisch der Maximalanzahl an Tierchen, die in der Petrischale vorhanden sein dürfen bzw einer etwas niedriger liegenden Obergrenze. Dies liefert uns eine bessere Annäherung, da mit immer mehr Tieren auch immer weniger Lebensraum und Nahrung für das Individuum zur Verfügung steht. Ebenfalls berücksichtigt dieses Modell die Zunahme der Geschwindigkeit mit der neue Tiere zuerst hinzukommen, sowie die Abnahme der Geschwindigkeit bei bereits wenig vorhandenem Platz, Nahrung oder anderer limitierender Ressourcen.

Zyklus 3

Mathematisches Modell

Als letzten Zyklus suchen wir ein Polynom P (möglichst niedrigen Grades), so dass P(xi) = yi für alle i elemnt von {0;... ;n} sind. Mittels Lagrange-Interpolation lässt sich zeigen, dass zu n + 1 gegebenen Stützpunkten stets ein eindeutiges Interpolationspolynom vom Grad kleiner gleich n existiert. Die Methode ist aber aufwändig und hat den Nachteil, dass man nach Hinzufügen eines Stützpunktes eine völlig neue Berechnung anstellen muss. Daher verwenden wir den Newton-Algorithmus. Diese basiert auf einer sukzessiven Berechnung von Interpolationspolynomen, bei denen nach und nach immer mehr Stützpunkte hinzugenommen werden.(Skript, Praktische Mathematik (SoSe 2016), Kapitel 4: Polynom-Interpolation)

Zunächst berechnet man die dividierte Differenzen.(Diese können auch rekursiv berechnet werden.) Mit diesen lässt sich nun das Polynom errechnen:

P{0,...,k}(x)=y0+y1*(x-x0)+y012*(x-x0)*(x-x1)+...+y0...k*(x-x0)*...*(x-xk)

Abbildung 6: Newton Interpolation: Y Werte

Abbildung 7: Newton Interpolation: X Werte und Interpolation

Abbildung 8: Newton Interpolation

Mathematisches Resultat

Das Interpolationspolynom vom Grad 13 schwingt sehr stark zwischen den Messwert 1 bis 3 und zwischen den Messwerten 13 und 14. Im Bereich der Messwerte zwischen 3 und 13 Verhält sich die Funktion ähnlich der logistischen Funktion und erzeugt bis zum 12 Messwert Schwankungen innerhalb der zulässigen Parameter.

Resultat in der Realsituation

Die Schwankungen gerade im oberen Bereich verdeutlichen sehr gut das Verhalten der Population im Bezug auf die Messwerte, im Gegensatz zu logistischen Funktion, die einen rein monotonen Anstieg besitzt. Auch das durch die Interpolation alle Messwerte erfasst sind und nicht nur angenähert ist ein Vorteil, wenn man das Wachstum genau dieser Population beurteilen möchte. Allerdings sind einige gravierende Ausschläge in der Funktion vorhanden und auch lassen sich keine Aussagen über potenteilles Verhalten, vor dem ersten und nach dem letzten Messwert treffen.

Siehe auch

Wikipedia: Populationsdynamik

Literatur

• Wikipedia: Exponentielles Wachstum
• Wikipedia: Flächeninhalt
• Logistische Funktion
• Fitten
• Polynom-Interpolation/Newtonscher Algorithmus
• Skript, Praktische Mathematik (SoSe 2016), Kapitel 4: Polynom-Interpolation
• Wikipedia: Pantoffeltierchen
• Wikipedia: Bakterielles Wachstum
• Bakterien-Vermehrung
• Konkurrenz