Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Verdünnung von Chemikalien im Rhein/Zyklus 1

Zyklus 1

Ziel

• Mit Hilfe einer bekannten Funktion soll der Konzentrationsverlauf der Chemikalie in den Winter- und Sommermonaten, in einem stillen Gewässer, möglichst genau dargestellt werden.
• Auf welcher Fläche und in welchem Konzentrationsverhältnis muss die Neutralisationschemikalie eingesetzt werden, um die ausgetretene Chemikalie umweltunschädlich zu machen?
• Muss überhaupt eine Neutralisationschemikalie zum Einsatz kommen?

1. Überlegung

Überlegung

• Wie breitet sich ein "Chemikalienpaket" im Rhein, bei einer bestimmten Temperatur, in stillem Wasser aus? Um das Volumen des Rheins besser bestimmen zu können, reduzieren wir das stark gestauchte parabelförmige Flussbett zu einem linear verlaufenden.
• Reduzierung des Rheins auf ein geschlossenes System. In diesem befinden sich keine Lebewesen, Steine, Pflanzen oder Ähnliches. Das bedeutet der Rhein wird nur noch als wassergefüllter Quader, ohne Fließbewegung, betrachtet.
• Angenommen die Chemikalie breitet sich gleichmäßig, jedoch mit unterschiedlicher Geschwindigkeit aus. Um dies möglichst anschaulich zu beschreiben gehen wir von einer konzentrischen Verteilung des Stoffes im Wasser aus (vgl. Videos - noch nicht reingestellt).

Verwendete Daten

• Durchschnittstemperatur der Wintermonaten: 13,9 °C
• Durchschnittstemperatur der Sommermonaten: 4,9 °C
• Austretende Chemikalie: $NaOH$

Ermittelte Werte der Verteilung der Konzentration durch die Videoanalyse

Anwendung der Chemikalie auf das zuvor durchgeführte Experiment

• Annahme: $NaO$H breitet sich wie Tinte (konzentrisch) aus. Betrachtet man dies in einem 3D-Raum, dann kann die Ausbreitung mit der Form einer Halbkugel beschrieben werden (nicht kugelförmig, da die Chemikalie zuerst auf den Boden absinkt).
• $NaOH$ ist, wie die Tinte nicht verdünnt, d.h. 1 g $NaOH$ in 1 ml Wasser.
• Wissen:
  • $M(NaOH)=39,997g/mol$
  • $n(NaOH)=0,025mol(1/39,997=0,025)$

--> Konzentration 1 g $NaOH$ 1ml: $c=0,025mol/0,001l=25mol/l$

Die nachfolgende Tabelle enthält die errechneten Volumina der Ausbreitung von $NaOH$, sowie die dadurch bestimmte Stoffmengenkonzentration von $NaOH$ zu einem gewissen Zeitpunkt. Zudem zeigt die Tabelle die pH-Werte zu diesen unterschiedlichen Zeitpunkten.

NaOH Konzentrationen aus Videoanalyse graphisch dargestellt - Temperaturabhängige Verteilung

• Um die Konzentrationsausbreitung anschaulicher darzustellen werden die Konzentrationswerte der letzten zwei Tabellen von 0-5 min. mittels GeoGebra graphisch dargestellt.
  • Als Hilfsfunktion wird eine Exponentialfunktion der Form $f(x):=m\cdot e^{-(x\cdot s)}$ verwendet, da von einem exponentiellen Abfall der Konzentration im Wasser ausgegangen werden kann.
  • Variable $m$: Menge der Chemikalie
  • Variabele $s$: Temperatur- und Konzentrationsabhängige Verteilung
  • X-Achse - Zeit [min.], Y-Achse - $NaOH$-Konzentration [mol/l]
  • Betrachtet werden in der nachfolgenden Graphik nur die positiven Werte

Ergebnisse

• Der pH-Wert liegt bei maximaler Verdünnung bei 12,4. Dieser Wert liegt noch zu stark im basischen Bereich für Lebewesen. Daher ist es notwendig eine Neutralisationschemikalie hinzu zu geben. Wodurch das Wasser wieder zu einem lebensfähigen Raum für jegliche Art von Leben werden soll.
• In der Neutralisationsreaktion ist zu erkennen, dass zum Neutralisieren gleich viele basische sowie saure Moleküle notwendig sind. D.h. $HCl$ muss die gleiche Konzentration besitzen, wie das im Wasser befindliche $NaOH$. Durch die Konzentrationstabelle kann abgelesen werden wie hoch $HCl$ konzentriert sein muss (abh. vom Zeitpunkt).
• In den ersten zwei Tabellen kann man erkennen, über welche Fläche sich die Lauge nach einer bestimmten Zeit ausgebreitet hat. Demnach ist bekannt, über welches Ausmaß an Fläche die Neutralisationschemikalie verteilt werden muss.

Da bei dem Versuch mit unterschiedlichen Temperaturen nur minimale Abweichungen der Ergebnisse zu erkennen waren, wird im Folgenden einfachheitshalber nur noch die Temperatur von 15°C betrachtet.

2. Überlegung

Überlegung

• In der Industrie wird meist verdünnte $NaOH$ verwendet (vgl. Modellierungsproblem). Diese breitet sich langsamer aus, als unsere hoch konzentrierte $NaOH$, da hier der Konzentrationsgradient geringer ist.

Ermittelte Werte der Verteilung der Konzentration durch Videoanalyse und Anwendung auf Chemikalie

• Im nachfolgenden wurden mittels Videoanalyse, Werte für eine Verdünnungsreihe von Tinte gesammelt. Die Verdünnungen sind wie folgt: 1:2, 1:3, 1:4

NaOH Konzentrationen aus Videoanalyse graphisch dargestellt - Konzentrationsabhängige Verteilung

• Auch diese Ergebnisse werden mithilfe der oben genannten Hilfsfunktion zur besseren Übersicht mit GoeGebra graphisch dargestellt.

Ergebnisse

• Es ist festzustellen, je nieriger die $NaOH$-Konzentration zu Beginn ist, desto langsamer breitet sich die Chemikalie im Verlauf aus.
• Diese Kurven legen den Grundbaustein für andere Konzentrationen. So kann man für jede andere Konzentration eine ähnliche Kurve beschreiben lassen, mittels Interpolation.