Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Verdünnung von Chemikalien im Rhein/Zyklus 2

Zyklus 2

Ziel

• Mit Hilfe des Diffusionskoefizenten soll eine Funktion aufgestellt werden, die den Verlauf der Chemikalie $NaOH$ im Wasser darstellt. Dabei wird sowohl der Ort als auch die Fließgeschwindigkeit miteinbezogen.
• Wir nehmen in diesem Zyklus an, dass der Rhein linear verläuft.

1.Überlegung

• Zu erst sollte der Diffusionskoeffitient $D$ bestimmt werden, da dieser ein wichtiger Bestandteil der Diffusionsgleichung darstellt.
• Um $D$ zu bestimmen benötigt man den hydrostatischen Radius der diffundierenden Teilchen. Allerdings besteht $NaOH$ sowohl aus $Na^{+}$ als auch $OH^{-}$-Ionen. Also kann man über den Mittelwert der hydrostatischen Radien von $Na+$ als auch $OH^{-}$ einen für die Berechnung annehmbaren Teilchenradius angeben.
• $D$ kann in das zweite Ficksche Diffusionsgesetz eingesetzt werden und die Differentialgleichung/Diffusionsgleichung zur Bestimmung der Konzentration gelöst werden.

Verwendete Daten

• Hydrodynamischer Ionenradius von $Na^{+}$: $r_{Na^{+}}=0,24nm=0,24\cdot 10^{-9}m$
• Hydrodynamischer Ionenradius von $OH^{-}$: $r_{OH^{-}}=0,11nm=0,11\cdot 10^{-9}m$
• Dynamische Viskosität von Wasser: $\eta \approx 1,0mPa\cdot s$
• Bolzmannkonstante: $k_{0}=1,38064852(79)\cdot 10^{-23}{\frac {J}{K}}$

Berechnung des hydrodynamischen Radius von NaOH

Um den hydrodynamischen Radius von NaOH zu bestimmen nehmen wir an, dass dieser dem Mittelwert der Ionenradien von $Na^{+}$ und $OH^{-}$ entspricht. Somit folgt:

$R_{0}={\frac {r_{Na^{+}}+r_{OH}}{2}}={\frac {0,24\cdot 10^{-9}m+0,11\cdot 10^{-9}m}{2}}=0,175\cdot 10^{-9}m$

Berechnung des Diffusionskoeffitienten $D$

Der Diffusionskoeffitient $D$ lässt sich auf folgende Weise berechnen:

$D:={\frac {k_{0}\cdot T}{6\pi \cdot \eta \cdot R_{0}}}=1,18\cdot 10^{-9}{\frac {m^{2}}{s}}$

Mit folgenden Parametern:

• $k_{0}$ : Bolzmannkonstante [${\frac {J}{K}}$]
• $T$ : Temperatur [$K$]
• $\eta$ : dynamische Viskosität des Lösungsmittels [${\frac {N\cdot s}{m^{2}}}$]
• $R_{0}$ : Hydrodynamischer Radius der diffundierenden Teilchen [$m$]

Erstellung eines Funktionsgraphen, als Lösung der Diffusionsgleichung, mit Einbezug von Ort, Fließgeschwindigkeit, Diffusion:

Dabei gibt die x-Achse den Ort [m] und die y-Achse die Konzentration [mol/m^3] an. Die m^3 können dabei bei späterer Auswertung in Liter umgerechnet werden.

Funktionsgraphen für D=0,118, in Abhängigkeit von Diffusion, Fließgeschwindigkeit nach bestimmter Zeit in Sekunden

Plot des oben genannten Funktionsgraphen

Vgl. Abbildung. Dabei wurde zur besseren Übersicht der Diffusionskoeffizient größer gewählt $D=0,118{\frac {m^{2}}{s}}$. Dies ist bei späteren Auswertungen zu beachten.

1. Wir wählen als Ausgangsfunktion eine Glockenform. $f(x):=m\cdot e^{-x^{2}}$

• Grund: Konzentrische Ausbreitung der Chemikalie.
• $m$ gibt die Konzentrationsmenge der Chemikalie an.

2. Die Fließgeschwindigkeit $2,4m/s$ in Funktion einbauen. $f(x):=m\cdot e^{-(x-2.4\cdot t)^{2}}$

• Grund: Fließgeschwindigkeit nur in eine Richtung, d.h. Verschiebung auf x-Achse
• $t$ gibt Zeit in Sekunden an. Die Verschiebung auf x-Achse ist abhängig von dieser Zeit.

3. Einbindung der Diffusion der jeweiligen Chemikalie. $f(x):=m\cdot e^{\frac {-(x-2.4\cdot t)^{2}}{D\cdot t}}$

• Stauchung der Funktion in x-Richtung mit Hilfe des Diffusionskoeffizient
• Der Diffusionskoeffizient ist auch abhängig von der Zeit. Je mehr Zeit vergeht, desto mehr diffundiert die Chemikalie.

4. Einbinden der Diffusion im 3-Dimensionalen Raum. $f(x):=m\cdot e^{\frac {-(x-2.4\cdot t)^{2}}{4\cdot D\cdot t}}$

• Diffusion erfolgt im 3 Dimensionalen Raum in mehrere Richtungen.

5. Einbindund der Eigenschaft, dass sich die Stoffmenge nicht verändert. $f(x):={\frac {m}{\sqrt {pi\cdot 4\cdot D\cdot t}}}\cdot e^{\frac {-(x-2.4\cdot t)^{2}}{(4\cdot D\cdot t)}}$

• Mithilfe der Eigenschaft der Normalverteilung - streckt man diese bleibt der Flächeninhalt immer gleich
• Diese Eigenschaft wird auf unsere Ausgangsfunktion angewandt. Auch hier bleibt unsere Anfangsstoffmenge über die Zeit konstant.

-> Reduzierung: Die Tatsache das es sich hierbei um eine Chemikalie handelt, welche mit Wasser reagiert und sich neutralisiert (Stoffmenge wird weniger) wird noch nicht beachtet!

6. Einbindung der Verteilungsfläche der Chemikalie zu Beginn der Katastrophe. $f(x):={\frac {m}{a\cdot {\sqrt {pi\cdot 4\cdot D\cdot t}}}}\cdot e^{\frac {-(x-2.4\cdot t)^{2}}{(4\cdot D\cdot t)}}$

• Die Stoffmenge verdünnt sich zu Beginn mit der Auftrittsfläche $a$.
• Diese ist veränderbar! Um eine bessere Übersicht zu erhalten wählen wir in der Graphik die Auftrittsfläche $a=1$.

Auswertung

Da Geogebra bei kleinen Werten ungenau und unübersichtlich ist, wird die Auswertung mit Maxima durchgeführt. Dabei nehmen wir eine Ausbreitungsfläche von $3m^{2}$ an. Der Diffusionskoeffizient wird dabei wie schon berechnet mit $D:=1,18\cdot 10^{-9}{\frac {m^{2}}{s}}$ angenommen.

Da das Chemikalienpaket ca. 3 Tage benötigt um durch den gesamten Rhein zu fließen wird lediglich ein Zeitintervall bis zu 70 Stunden ausgewertet. Im folgenden ene Auswahl an Zeitintervallen die Ausgewertet wurdenfür die Stoffmengen 25 mol und 4,38 mol.

Auswertung Stoffmenge 25 mol im Zeitintervall 1 bis 5 Stunden

Auswertung Stoffmenge 25 mol im Zeitintervall 30 bis 40 Stunden

Auswertung Stoffmenge 25 mol im Zeitintervall 60 bis 70 Stunden

Auswertung Stoffmenge 4,38 mol im Zeitintervall 1 bis 5 Stunden

Auswertung Stoffmenge 4,38 mol im Zeitintervall 30 bis 40 Stunden

Auswertung Stoffmenge 4,38 mol im Zeitintervall 60 bis 70 Stunden

Da die Konzentrationen in ${\frac {mol}{m^{3}}}$ angegeben sind und wir uns für ${\frac {mol}{l}}$ interessieren um den pH-Wert zu errechnen müssen die Werte umgerechnet werden.

${\frac {1mol}{m^{3}}}={\frac {1mol}{1000dm^{3}}}={\frac {1mol}{1000l}}={\frac {0,001mol}{1l}}$ Zur besseren Übersicht werden die Ergebnisse in einer Tabelle veranschaulicht.

Dabei wird lediglich der höchste Peak zu einer bestimmten Zeit betrachtet.

Selbst nachdem die Chemikalie komplett durch den Rhein gelaufen ist, ist der pH-Wert des höchsten Peaks noch so hoch das die Chemikalie immer noch umweltschädlich ist.

Dies gilt für beide Graphen (Stoffmenge 25 mol und 4,38 mol).

2. Überlegung

Es handelt sich bei $NaOH$ um eine Chemikalie, die mit Wasser reagiert. Dies hat zur Folge, dass sich $NaOH$ neutralisiert. In der ersten Überlegung bleibt die Stoffmenge konstant. Diese soll jedoch mit der Zeit geringer werden, da sich die Chemikalie $NaOH$ neutralisiert.

Wir nehmen an, dass sich nur die Chemikalie die vom Chemikalienpaket wegdiffundiert neutralisiert. Dazu nehmen wir die Werte aus Zyklus 1.

Konzentrationsabhängige Verteilung aus Zyklus 1 in Sekunden

• Da die Fließgeschwindigkeit in m/s gemessen wird muss die Graphik zur Konzentrationsabhängigkeit, die in Minuten gemessen worden ist in Sekunden umgerechnet werden.
• Durch diese Datei kann genau bestimmt werden, wie hoch die Konzentration nach einer Sekunde ist.

Graphische Darstellung der Prozentualen Chemikalienverteilung. Werte wurden aus Tabelle entnommen.

• In einer Excel Tabelle wird nun der prozentuale Chemikalienanteil nach einer Sekunde ermittelt. Dies wird nochmals in einer GeoGebradatei durch einen Funktionsgraphen veranschaulicht.
  • Diese Funktion gibt schließlich den noch vorhandenen prozentualen Chemikalienanteil nach einer bestimmten Zeit an. (Einfluss des Diffusion ohne Fließgeschwindigkeit)
  • Zur Einfachheit wird im weiteren Verlauf ausschließlich der Graph der höchsten Konzentration $(25mol/l)$ sowie der Graph der niedrigsten Konzentration $(4,38mol/l)$ beachtet.

Bildung eines Verlustfaktors

• Diese Funktionen (vgl. Graphik) zeigen nur die prozentuale Ausbreitung der Pseudochemikalie Tinte bei stillem Gewässer. Um dies mit der 1. Überlegung zu verbinden muss der Aspekt der Fließgeschwindigkeit sowie der Diffusionskoeffizient von $NaOH$ eingebaut werden.
  • Die Variable $x$ wird zu $t$ verändert.
  • Fließgeschwindigkeit Rhein: $2.4m/s$

Verlustfaktor für Stoffmenge $25mol/l$: $e^{\frac {-0.4\cdot t\cdot D}{2.4}}$

Verlustfaktor für Stoffmenge $4,38mol/l$: $e^{\frac {-0.08\cdot t\cdot D}{2.4}}$

Selbst nachdem der Verlustfaktor hinzugefügt wurde, ändert sich der pH-Wert kaum.

Fazit

Die Fließgeschwindigkeit hat einen sehr großen Einfluss auf die Diffusion d.h. Diffussion kann kaum stattfinden. Das bedeutet, dass das Chemikalienpaket fast vollständig durch den Rhein getragen wird.

Somit kann der Verlustfaktor im nachfolgenden Zyklus vernachlässigt werden.