Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Verdünnung von Chemikalien im Rhein/Zyklus 3

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Zyklus 3[Bearbeiten]

Ziel

  • Mit Hilfe der Diffusionsgleichung soll eine Funktion aufgestellt werden, die den Verlauf der Chemikalie NaOH im Wasser darstellt. Diese soll unter anderem auch im dreidimensionalen geplottet werden.
  • An Hand des Gradientenabstiegsverfahren soll bestimmt werden, zu welchem Zeitpunkt und an welchem Ort der Konzentrationsgehalt von NaOH nahe bei dem Wert Null bzw. einer umweltunschädlichen Dosierung liegt und daher keine negativen Umwelteinflüsse mehr auftreten können. Zudem kann dadurch bestimmt werden, an welchen Stellen größere bzw. kleinere Mengen der Neutalisationschemikalie hinzugefügt werden müssen.


Überlegung

  • Zu erst sollte der Diffusionskoeffitient bestimmt werden, da dieser ein wichtiger Bestandteil der Diffusionsgleichung darstellt.
  • Um zu bestimmen benötigt man den hydrostatischen Radius der diffundierenden Teilchen. Allerdings besteht NaOH sowohl aus als auch OH- Ionen. Also kann man über den Mittelwert der hydrostatischen Radien von Na+ als auch einen für die Berechnung annehmbaren Teilchenradius angeben.
  • kann in das erste Ficksche Diffusionsgesetz eingesetzt werden und die Differentialgleichung zur Bestimmung der Diffusionsgeschwindigkeit gelöst werden.
  • Als nächstes sollte die Diffusionsgleichung gelöst werden. Hierbei handelt es sich wiederum um eine Differentialgleichung.


Verwendete Daten

  • Hydrodynamischer Ionenradius von :
  • Hydrodynamischer Ionenradius von :
  • Dynamische Viskosität von Wasser:


Berechnung des hydrodynamischen Radius von NaOH

Um den hydrodynamischen Radius von NaOH zu bestimmen nehmen wir an, dass dieser dem Mittelwert der Ionenradien von und entspricht. Somit folgt:



Berechnung des Diffusionskoeffitienten

Der Diffusionskoeffitient lässt sich auf folgende Weise berechnen:



Mit folgenden Parametern:

  •  : Bolzmannkonstante
  •  : Temperatur []
  •  : dynamische Viskosität des Lösungsmittels []
  •  : Hydrodynamischer Radius der diffundierenden Teilchen []