Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Wolfspopulation

Modellierungsthema

Allgemein:

Beobachtung der Gebiete in Deutschland, in denen der Wolf bereits weit verbreitet ist.

Wie schnell steigt die Population der Wölfe? ( Rudelaufbau, Fortpflanzung, Revier, Alter usw. )
Angriff auf Nutztiere und Relation zur Wolfspopulation

Bayern:

Jetziger Stand: zwei Wölfe in ganz Bayern

Wie breiten sie sich in der Zukunft aus?
- Ohne Eingreifen des Menschen ( -> Territorium, Angriffe unter Wölfen )
- Mit Eingreifen des Menschen ( -> Abschuss, Jagdrecht )

Ziel:

Nach wie vielen Jahren müsste in Bayern in die Wolfspopulation eingegriffen werden, damit die Schafszucht rentabel bleibt?

Zuordnung des Themas zu den Nachhaltigkeitszielen der Vereinten Nationen

Durch die Ausbreitung des Wolfs in Deutschland muss sichergestellt werden, dass sowohl für den Wolf genügend Nahrung vorhanden ist, als auch die Bauern keine großen Einbuße hinsichtlich ihrer Nutztiere durch Wolfsangriffe haben (SDG2: Zero Hunger). Dies gilt insbesondere für Entwicklungsländer, in denen Ökosysteme allgemein in Konkurenz zur menschlichen Nutzung zum Anbau von Nahrungsmitteln und für die Tierzucht treten. Es soll allen Lebewesen ein gesundes Leben ermöglicht werden (SDG3: Good health and Well-being). Außerdem ist es essentiell, die Landökosysteme zu schützen und im Gleichgewicht zu halten (SDG15: Life on Land).

Modellierungszyklus

Zyklus 1a

Zielsetzung

Im ersten Zyklus Teil a erfassen wir die Anzahl der Wölfe in Deutschland pro Jahr, da hier keine genauen Daten vorhanden sind. Danach berechnen wir die Wachstumsrate der Wölfe in Deutschland um eine mögliche Entwicklung der Population zu erkennen und diese im weiteren Modellierungsverlauf auf Bayern zu übertragen. Hierbei berücksichtigen wir vorerst weder die Zuwanderung aus anderen Ländern noch die Sterberate.

Vorgehensweise

Die Daten haben wir der Website des DBBW (Dokumentations- und Beratungsstelle des Bundes zum Thema Wolf) entnommen. Aus der Datenbank haben wir entnommen, wie viele Welpen jedes Jahr geboren werden. Diese haben wir in eine Excel Tabelle eingetragen und erstmal jährlich aufaddiert ohne zu berücksichtigen, dass 50% der Welpen im 1. Lebensjahr sterben. Daraus entstand eine jährliche Anzahl der Wölfe pro Jahr (Spalte B), die allerdings noch nicht sehr realistisch ist. Deshalb haben wir in der nächsten Spalte (C) nur die Welpen berechnet, die jedes Jahr geboren werden, um nun die 50% Welpen abziehen zu können, die durchschnittlich im ersten Lebensjahr sterben. Dafür haben wir in der Spalte D berechnet: Spalte B - 50% Spalte C. Dadurch erhielten wir einen realistischeren Wert als zuvor. Nun konnten wir über die Seite des DBBW auch noch die jährlichen Totfunde der Wölfe erfassen, und diese in einer neuen Spalte festhalten (F). Um nun die exakte Anzahl der Wölfe in Deutschland zu erhalten, mussten wir nur noch die Totfunde (F) von der Spalte abziehen, bei denen die 50% sterbende Welpen bereits berücksichtigt wurden (D). Daraus folgen realitätsnahe Werte für die Anzahl der Wölfe in Deutschland pro Jahr (G), mit denen wir weitere Berechnungen starten können.

A: Jahr	B: Anzahl Wölfe in Deutschland	C: Anzahl Welpen Deutschland	D: Anzahl Wölfe Deutschland Abzügl. 50% Welpen	E: Anzahl Welpen Deutschland aufaddiert	F: Todfunde	G: Anzahl Wölfe abzügl. Totfunde	H: Anzahl Wölfe abzügl. Totfunde mit allen geborenen Welpen	I: Tote Wölfe Gesamt
2000/01	6	4	4	4		4	6	2
2001/02	8	2	5	6		5	6	1
2002/03	11	3	6,5	5	1	5,5	7	2,5
2003/04	16	5	9	8	1	8	10,5	3,5
2004/05	18	2	10	7	0	10	11	1
2005/06	28	10	15	12	3	12	17	8
2006/07	46	18	24	28	5	19	28	14
2007/08	63	17	32,5	35	2	30,5	39	10,5
2008/09	85	22	43,5	39	7	36,5	47,5	18
2009/10	116	32	59,5	54	2	57,5	73,5	18
2010/11	150	35	77	67	14	63	80,5	31,5
2011/12	209	57	105,5	92	14	91,5	120	42,5
2012/13	272	63	137	120	15	122	153,5	46,5
2013/14	374	102	188	165	21	167	218	72
2014/15	508	134	255	236	33	222	289	100
2015/16	681	174	342	308	46	296	383	133
2016/17	896	218	451	392	51	400	509	160
2017/18	1134	266	584	484	63	521	654	196
2018/19	1336	202	685	468

Fachmathematische Werkzeuge

Tabellenkalkulationsprogramm (LibreOffice Calc) || (Sek I )
Datenverarbeitung || (Sek 2)
Säulendiagramm || (Sek I)

Ergebnisse

Die dargestellte Tabelle zeigt nun die einzelnen Werte und Schritte, die uns zu einer realistischen Wolfszahl geführt haben. Im nächsten Zyklus werden wir anhand der gewonnenen Daten neue Berechnungen rund um die Wolfspopulation starten.

Zyklus 1b

Zielsetzung

Zum genauen bestimmen einer Wachstumsrate müssen wir auch die Sterbe- und Geburtenrate ermitteln. Anhand der Totfunde und der jährlich geborenen Welpen

erstellen wir in Teil 1b eine Sterberate und eine Geburtenrate für die Wölfe in Deutschland. Mit Hilfe des Malthus Wachstumsmodells können wir dann das Wachstum der Wolfspopulation visualisieren.

Vorgehensweise

Zuerst müssen wir nun die jährliche Sterberate der Wölfe berechnen. Hierzu verwenden wir die Formel: $\delta =\left({\frac {\left({\text{Totfunde pro Jahr}}\right)}{\text{Anzahl der Wölfe pro Jahr}}}\right)$ wobei Totfunde pro Jahr der Spalte I entspricht und Anzahl der Wölfe pro Jahr der Spalte B. Aus den jährlichen Sterberaten ergibt sich eine durchschnittliche Sterberate von 20,02%. Als nächstes müssen wir die Geburtenrate ermitteln. Diese ergibt sich aus: $\gamma =\left({\frac {\left({\text{Welpen pro Jahr}}\right)}{\text{Anzahl der Wölfe pro Jahr}}}\right)$ also aus den Spalten E und B. Aus der jährlichen Geburtenrate ergibt sich eine durchschnittliche Geburtenrate von 49,04%. Nun veranschaulichen wir die Wachstumsrate mit Hilfe von GeoGebra, indem wir zuerst die realistischen Wolfszahlen pro Jahr in ein Koordinatensystem eintragen und die Punkte miteinander verbinden. Nun erstellen wir die Wachstumsfunktion: $p(t)=p_{0}\cdot e^{(\gamma -\delta )\cdot t}$ . Wobei y für die Geburtenrate und d für die Sterberate steht. Als $p_{0}$ setzen wir 2 ein, da es 1999/2000 mit 2 Wölfen in Deutschland begonnen hat. Nun können wir die Funktion, die durch das Malthus Wachstumsmodell entstanden ist mit unseren Wolfszahlen vergleichen.

Jahr	Anzahl Wölfe in Deutschland	Anzahl Welpen Deutschland	Anzahl Wölfe Deutschland Abzügl. 50% Welpen	Anzahl Welpen Deutschland aufaddiert	Totfunde	Anzahl Wölfe abzügl. Totfunde	Anzahl Wölfe abzügl. Totfunde mit allen geborenen Welpen	Tote Wölfe Gesamt	Sterberate	Geburtenrate
2000/01	6	4	4	4		4	6	2	0,3333333333	0,6666666667
2001/02	8	2	5	6		5	6	1	0,125	0,75
2002/03	11	3	6,5	5	1	5,5	7	2,5	0,2272727273	0,4545454545
2003/04	16	5	9	8	1	8	10,5	3,5	0,21875	0,5
2004/05	18	2	10	7	0	10	11	1	0,0555555556	0,3888888889
2005/06	28	10	15	12	3	12	17	8	0,2857142857	0,4285714286
2006/07	46	18	24	28	5	19	28	14	0,3043478261	0,6086956522
2007/08	63	17	32,5	35	2	30,5	39	10,5	0,1666666667	0,5555555556
2008/09	85	22	43,5	39	7	36,5	47,5	18	0,2117647059	0,4588235294
2009/10	116	32	59,5	54	2	57,5	73,5	18	0,1551724138	0,4655172414
2010/11	150	35	77	67	14	63	80,5	31,5	0,21	0,4466666667
2011/12	209	57	105,5	92	14	91,5	120	42,5	0,2033492823	0,4401913876
2012/13	272	63	137	120	15	122	153,5	46,5	0,1709558824	0,4411764706
2013/14	374	102	188	165	21	167	218	72	0,192513369	0,4411764706
2014/15	508	134	255	236	33	222	289	100	0,1968503937	0,4645669291
2015/16	681	174	342	308	46	296	383	133	0,1953010279	0,4522760646
2016/17	896	218	451	392	51	400	509	160	0,1785714286	0,4375
2017/18	1134	266	584	484	63	521	654	196	0,1728395062	0,4268077601
2018/19	1336	202	685	468
									Durchschnitt	Durchschnitt
									0,2002199113	0,4904236759

									20,02%	49,04%

Fachmathematische Werkzeuge

Tabellenkalkulationsprogramm (LibreOffice Calc) || (Sek I)
Sterberate || (Sek I)
Geburtenrate || (Sek I)
Malthus Wachstumsmodell || (Sek II)
Geogebra || (Sek I)

Ergebnisse

Das Malthus Wachstumsmodell ist noch zu ungenau für die Darstellung der Wolfspopulation, da hier Sterbe- und Geburtenrate als konstant betrachtet werden. Deshalb werden wir im nächsten Zyklus ein anderes Modell wählen, bei denen Sterbe- und Geburtenrate veränderlich ist, bzw. bei denen man bessere Werte für die durchschnittlichen Raten erhält.

Zyklus 2

Zielsetzung

In diesem Zyklus befassen wir uns damit, die Sterbe- und Geburtenrate besser darzustellen, indem wir eine Regression durchführen und uns dadurch Funktionen zu beiden Raten erstellen lassen. Danach können wir diese Funktionen im Impliziten Eulerverfahren verwenden und somit eine genauere Wachstumsrate bestimmen.

Vorgehensweise der Regression

Unsere Werte erhalten wir aus dem vorhergehenden Zyklus. Da die Werte für Geburtenrate und Sterberate nicht als Konstanten angenommen werden können, versuchen wir in diesem Zyklus mittels Regression die jeweilige Gleichung zu bestimmen. Nachdem wir die Daten in einen Graphen eingefügt haben stellen wir fest, dass eine lineare Regression eine ungenaue Gleichung der Werte darstellt. Darum haben wir mittels Calc eine potenzielle Regression der Geburtenrate und eine polynomische Regression der Sterberate durchgeführt.

Vorgehensweise bei der Berechnung der Wachstumsrate mit Hilfe des impliziten Eulerverfahren

Um die Wachstumsrate der Wolfspopulation genauer und vorausschauend zu bestimmen verwenden wir das implizite

Eulerverfahren. Zur Berechnung verwenden wir Skripte in Octave. In dem ersten Skript ist das implizite Eulerverfahren

verfasst. Zur Verwendung des Befehls "impl_euler ( f, xo, xf, yo, N )" werden die Funktion zur Berechnung, Start- und

Endwert der unabhängigen Variable, Anfangswert der abhängigen Variablen und die Intervallanzahl für die Lösung

zwischen Start und Endwert benötigt. Diese Werte enthält das zweite Skript "Wolfpopulation".

Die Funktion zur Berechnung der Wachstumsrate ergibt sich durch die erhaltenen Funktionen der Regressionen.

${\boldsymbol {\delta }}(t)=0{,}0001737551\cdot \mathbf {t} ^{2}-0{,}005967627\cdot \mathbf {t} +0{,}2365540588$ ( Funktion der Sterberate )

${\boldsymbol {\gamma }}(t)=0{,}6441605805\cdot \mathbf {t} ^{-0{,}1423041137}$ ( Funktion der Geburtenrate )

$Wachstumsrate(t)={{\boldsymbol {\gamma }}(t)-{\boldsymbol {\delta }}(t)}$ ( Funktion der Wachstumsrate )

Diese Raten haben wir mittels Octave für die Jahre 2000-2036 graphisch dargestellt. Durch den Verlauf der Raten in der Zukunft konnten wir feststellen, dass unsere Funktionen fehlerbehaftet sind, da die Sterberate polynomisch dargestellt ist. Genauer bedeutet dies, dass die Geburtenrate sinkt und die Sterberate steigt, was die Wachstumsrate schnell sinken lässt. Da dies eine nicht realistische Situation darstellt, haben wir ab dem Jahr 2018 die Werte in der Zukunft mit den konstanten Werten von ${\boldsymbol {\delta }}(18)$ und ${\boldsymbol {\gamma }}(18)$ berechnet.

$\mathbf {f} ={{\boldsymbol {\gamma }}(t)-{\boldsymbol {\delta }}(t)}\cdot \mathbf {p}$ ( Differentialgleichung für Wolfspopulation p'(t)=f(t,p(t)) )

Die erste Berechnung startet im Jahre 0 und endet im Jahre 18.

xo = 0;

xf = 18

Im Jahre 0 existieren 2 Wölfe, diese unseren Anfangswert der abhängigen Variablen bilden.

yo = 2

Da wir den wöchentlichen Wachstum der Wölfe in 18 Jahren untersuchen wollen, verwenden wir den Wert 936 ( 18*52 ).

N = 936

Nach dem Durchlauf des impliziten Euler-Verfahrens bis zum Jahr 2018 wollen wir nun auch Vorhersagen für die Zukunft machen.

Dazu benutzen wir wie oben bereits erwährt konstante Geburten- und Sterberaten und berechnen die Daten für die darauffolgenden 18 Jahre, also

xo = 18;

xf = 36

Dieser Zukunftsverlauf mit konstanten Raten ab 2018 wird von dem roten Graph-Abschnitt veranschaulicht. Außerdem erkennt man deutlich den Unterschied zwischen dem Verlauf mit konstanten Werten und dem Verlauf der Population mit den Raten ohne einfügen konstanter Werte. Die korrigierte Lösung des Eulerverfahrens zeigt eine realistische Entwicklung der Wolfspopulation für die nächsten 18 Jahre.

Fachmathematische Werkzeuge

Explizites Eulerverfahren || (Uni-niveau)
nicht-lineare Regression || (Uni-niveau)
implizites Eulerverfahren || (Uni-niveau)
Octave || (Uni-niveau)
Interpretation von Regressionsergebnissen || (Uni-niveau)

Ergebnisse:

Das implizite Eulerverfahren führt somit zu einer Veranschaulichung des Verlaufs der Population der Wölfe und lässt Aussagen für die Zukunft zu. Hierbei ist allerdings zu beachten, dass die Population nicht bis ins unendliche wachsen kann, sondern dass der Wolfspolulation Grenzen gesetzt sind. In unserer Veranschaulichung handelt es sich um eine Populationsentwicklung ohne Territoriale Aspekte und ohne Einfluss der Nahrungsmittelknappheit etc. . Im nächsten Zyklus wollen wir uns deshalb den Territorialen Aspekten widmen, um eine Aussage über die Grenze des Populationswachstums treffen zu können.

Zyklus 3

Zielsetzung:

In diesem Zyklus nehmen wir die zuvor, im zweiten Zyklus, erarbeiteten Daten und beziehen diese auf das 70550 Quadratkilometer große Bayern.

Mittels des Verlust Modells ( Populationsmodell ) soll das Jahr und die Anzahl der Wölfe ermittelt werden, in dem die Sättigungsgrenze erreicht wird.

Hierzu verwenden wir Daten vom Umweltbundesamt ( [1] ) und der Dokumentations- und Beratungsstelle des Bundes zum Thema Wolf ( [2] ).

Vorgehensweise:

Bayern kommt nicht flächendeckend zur Revierbildung des Wolfes in Frage. Im Folgenden gehen wir davon aus, dass der Wolf, bis auf die Siedlungsgebiete, alle Flächen Bayerns zur Erschaffung seiner Reviere nutzen kann. Die Größe bebauter Fläche beträgt ca. 9500 Quadratkilometer. Somit wird in Zyklus 3 von einem 61050 Quadratkilometer großen Bereich ausgegangen in dem die Wölfe überleben können.

Ein Wolfsrudel besteht aus ca. neun Wölfen und beherrscht ein Revier von ca. 225 Quadratkilometern. Diese festgelegten Werte werden im weitern Verlauf verwendet.

Damit lässt sich auf diese Gleichungen schließen:

Anzahl der möglichen Reviere in Bayern: $61050{\text{km}}^{2}\div 225{\text{km}}^{2}\thickapprox 271$

Sättigungsgrenze: $271\cdot 9\approx 2439$

Somit liegt die Sättigungsgrenze bei 2439 Wölfen in Bayern. Mittels des Verlust Modells können wir nun herausfinden, wann sich das Wachstum der Wölfe bei der Sättigungsgrenze einpendelt. Hierzu wird die folgende Funktion verwendet:

$p(t)=\left({\frac {a\cdot p_{0}}{\left({\frac {a}{2439}}\right)\cdot p_{0}+[a-\left({\frac {a}{2439}}\right)\cdot p_{0}]\cdot e^{-a\cdot (t-t_{0})}}}\right)$

Dieses Modell ist geeignet, wenn die Population bis zur Grenze $\left({\frac {a}{b}}\right)$ wächst, danach stagniert, weil durch die Größe der Population die Ressourcen (Kapazitäten) verbraucht werden. $\left({\frac {a}{b}}\right)$ ist in unserem Fall also 2439. $a$ stellt hierbei die Reproduktionsrate dar.

In unserer Formel haben wir von Anfang an für b= $\left({\frac {a}{2439}}\right)$ angenommen.

$p_{0}=2$ , da in Bayern alles mit 2 Wölfen im Jahr 2018 anfängt.

In diese Formel setzen wir nun die jeweiligen Werte für $t$ und $p(t)$ ein, die wir mit dem impliziten Euler-Verfahren erhalten haben. Mit Hilfe von Geogebra erhalten wir nun für jedes Jahr einen Wert für a.


Jahre	Wolfszahlen aus Euler	Verlustmodell a
0	2	0
1	3,3109	0,5050211918
2	4,8603	0,4447688134
3	6,8606	0,4116848235
4	9,4729	0,3896923279
5	12,89	0,3736387032
6	17,355	0,3612440731
7	23,179	0,3513197655
8	30,757	0,3431563781
9	40,594	0,3363163081
10	53,326	0,3304973184
11	69,762	0,3255047193
12	90,917	0,3211982168
13	118,06	0,317480888
14	152,78	0,3142950021
15	197,03	0,3116021272
16	253,24	0,309400307
17	324,35	0,3077038068
18	413,95	0,3065656474

		Mittelwert:
		0,3533939121

Nachdem wir alles in einer Excel Datei festgehalten haben, haben wir den Mittelwert für a bestimmt. Diesen haben wir dann als festen Wert der Verlustfunktion angenommen und mittels Ocave veranschaulichen lassen. Die ausgegebene Funktion (orange) haben wir mit dem Funktionsgraphen verglichen, die wir mittels des impliziten Euler-Verfahrens (rot) erhalten haben. Da es hier zu enormen Abweichungen kam, haben wir uns die Werte für $a$ nochmal genauer angesehen und festgestellt, dass die Zahlen sich langsam einem bestimmten Wert annähern. Daher haben wir den Wert von 2017/18 genommen und ihn als konstantes $a$ in Octave festgelegt. Der nun entstandene Graph (blau) veranschaulicht die Wolfspopulation bedeutend besser als der Funktionsgraph mit dem Mittelwert für $a$ , da die Abweichung deutlich geringer ist. Nun haben wir den Funktionsgraph weiter in die Zukunft dargestellt bis zum Jahr 2068 (50 Jahre in die Zukunft). Anhand dieser Darstellung können Aussagen über die Zukunft der Wölfe in Bayern getroffen werden, bzw. es kann abgelesen werden, wann die Population gesättigt ist und sich ein "Gleichgewicht" einpendelt.

Fachmathematische Werkzeuge:

Verlust Modell || (Uni-Niveau)
implizites Eulerverfahren || (Uni-Niveau)
GeoGebra || (Uni-Niveau)
Tabellenkalkulationsprogramm (LibreOffice Calc) || (Sek I)
Octave || (Uni-Niveau)
Mittelwert || (Sek I)

Ergebnisse

An unserem Graphen kann man ablesen, dass sich die Wolfspopulation etwa ab dem Jahre 40 einpendeln wird und es dann nur noch zu geringfügigen Schwankungen kommt. Ab hier stellt sich ein Gleichgewicht ein, da die Population die Sättigungsgrenze erreicht und die Steigung geht dementsprechend gegen 0.

In Bayern werden in 40 Jahren, also im Jahr 2058, circa 2435 Wölfe leben, wenn man das Wachstum der Population nur von den Territorien abhängig macht.

Fazit:

Die Wolfspopulation ist ein sehr umfangreiches Modellierungsthema, da die Datenbeschaffung sich als schwierig dargestellt hat und das Thema sehr umfangreich ist. Das Wolfswachstum hängt von sehr vielen unterschiedlichen Einflussfaktoren ab, die in dem Modell nicht alle berücksichtigt werden konnten. Somit ergeben sich noch weitere Modellierungsthemen zum Wolf, die in unserer Betrachtung offen bleiben.

Modellierungsalternativen:

Alternativ zu unserer Vorgehensweise könnte das Räuber - Beute Modell und andere Einflussfaktoren, wie beispielsweise der Abschuss durch Menschen, Lebensbedingungen für den Wolf in Bayern, Revierkämpfe, Auswanderung in andere Bundesländer usw. untersucht werden. Außerdem können weitere Modelle zum Thema Wolf erstellt werden, hinsichtlich dem Verlust in der Landwirtschaft durch den Wolf, die Verbreitung weltweit und Ausweitung von Territorien in Siedlungsgebiete.

Literatur:

Dokumentations- und Beratungsstelle des Bundes zum Thema Wolf (https://dbb-wolf.de/Wolfsvorkommen/territorien/zusammenfassung?Bundesland=&Jahr=2018)
Umweltbundesamt (https://www.umweltbundesamt.de/daten/flaeche-boden-land-oekosysteme/flaeche/struktur-der-flaechennutzung#textpart-1)