Kurs:Quantencomputing/Gruppe
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Definitonen[Bearbeiten]
Magma[Bearbeiten]
Auf einer Menge lässt sich eine zweistellige Verknüpfung definieren. Ist diese Verknüpfung abgeschlossen, also liegen die Ergebnisse jeder möglichen Verknüpfung wieder in , so wird als Magma bezeichnet.
Halbgruppe[Bearbeiten]
Ist ein Magma und die Verknüpfung assoiziativ
so wird als Halbgruppe bezeichnet.
Monoid[Bearbeiten]
Ist eine Halbgruppe und besitzt ein Element so dass für jedes Element der Zusammenhang
gilt, so heißt
Monoid und heißt Neutrales Element.
Gruppe[Bearbeiten]
Ist ein Monid und existiert für alle ein Element , welches
erfüllt, so heißt Gruppe und das Element heißt Inverses Element zu .
Abelsche Gruppe[Bearbeiten]
Ist eine Gruppe und gilt für alle der Zusammenhang
so wird die Gruppe als abelsche Gruppe bezeichnet.
Anmerkungen[Bearbeiten]
Die Überlegungen, die hier aus der Addition heraus entwickelt wurden, lassen sich auch auf die Multiplikation anwenden. In diesem Fall wird als Verknüpfung meist , für das Neutrale Element und für Inverse Element als Bezeichnung gewählt.
Aufgaben[Bearbeiten]
- Zeige dass die Menge mit der Verknüpfung und der Verknüpfungstabelle
eine abelsche Gruppe ist. Was ist das Neutrale Element?
- Prüfe um welche oben definierte Struktur es sich jeweils bei
handelt. Begründe, warum es sich nicht um die nächst höhere Struktur handeln kann.
Lösungen
Siehe auch[Bearbeiten]
- Weitere Informationen können in dem Wikipedia-Artilel Gruppe gefunden werden.