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Kurs:Quantencomputing/Lösungen

Aus Wikiversity

Diese Seite beinhaltet Lösungen zu allen Aufgaben aus den einzelnen Kapiteln des Kurs Quantencomputing.

Mathematische Vorkenntnisse[Bearbeiten]

Ableitungen[Bearbeiten]

Integrale[Bearbeiten]

Vektoren[Bearbeiten]

Matrizen[Bearbeiten]

  • also muss auch

gelten. Da die Eigenwerte unterschiedlich sein sollen muss demnach gelten. Daher sind Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten einer symmetrischen Matrix orthogonal.

Komplexe Zahlen[Bearbeiten]

Mathematische Grundlagen[Bearbeiten]

Gruppen[Bearbeiten]

  • ist mit der Verknüpfung und dem Neutralen Element eine abelsche Gruppe. Um das zu zeigen, ist es hilfreich zuerst an der Verknüpfungstabelle abzulesen, dass die Verknüpfung
    • abgeschlossen
    • kommutativ ( abelsch)

ist. Die Assoziativität kann für die acht möglichen Fälle ausprobiert werden. Das Inverse Element zu ist und das Inverse Element zu ist . Insgesamt handelt es sich also um eine abelsche Gruppe.

  • ist ein Monid, da die Addition der nicht negativen Zahlen abgeschlossen und assoziativ ist. ist das Inverse Element der Addtion und Teil der Menge . Es handelt sich um keine Gruppe, da die Gleichung keine Lösung in hat, wenn ist.
  • ist eine abelsche Gruppe, da die Multiplikation rationaler Zahlen abgeschlossen, assoziativ und kommutativ ist. Das Neutrale Element ist und in der Menge enthalten. Jedes Element hat das Inverse Element in der betrachten Menge, da nicht Teil der Menge ist und daher ist.
  • ist eine abelsche Gruppe, da die Additon reeller Zahlen abgeschlossen, assoziativ und kommutativ ist. Das neutrale Element ist eine relle Zahl und zu jeder Zahl ist das additive Inverse Teil der Menge.
  • ist ein Monoid. Die Matrixmultiplikation ist abgeschlossen und assoziativ. Sie ist nicht kommutativ! Das Neutrale Element ist Teil der rellen Matrizen. Jedoch ist nicht jede Matrix Invertierbar. Eine Matrix die nur Nullen als Eintrag hat, kann bspw. durch keine Matrixmultiplikation das Ergebnis haben. (Würde die Invertierbarkeit gefordert werdeb, durch , würde es sich um eine Gruppe handeln, die aber nach wie vor nicht abelsch ist.)

Körper[Bearbeiten]

  • Damit es sich um einen Körper handelt, muss eine abelsche Gruppe sein. Nun ist aber keine Gruppe, da es für die Gleichung keine Lösung in gibt. Es gibt also keine Inversen.
  • Die fehlenden Inversen im Fall von werden durch das Betrachten von umgangen. Die rationalen Zahlen bilden sowohl bzgl. der Addition, wie auch bzgl. der Multiplikation (unter Herausnehmen des Elements ) jeweils eine abelsche Gruppe. In den rationalen Zahlen gilt das Distributivgesetz.
  • (optional) Die Elemente von sind durch gegeben.
    • ist bezüglich der Addition eine abelsche Gruppe, denn die Addition ist abgeschlossen, assoziativ und kommutativ. Das Neutrale Element ist und es gibt zu jedem Element ein additives Inverses. (Ist das Element, so ist das Inverse.
    • Auf gilt das Distributivgesetz.
    • ist im Allgemeinen jedoch keine abelsche Gruppe, da es teilweise keine Inversen gibt. Als Beispiel kann hier mit den Elementen betrachtet werden. Es zeigt sich, dass keine Lösung in der betrachteten Menge hat.
    • Es handelt sich um einen Körper, falls eine Primzahl ist.
    • Bei handelt es sich im allgemeinen um einen sogenannten Ring.

Vektorräume[Bearbeiten]

  • Ist ein Vektorraum?
    • Die Innere und Äußere Verknüpfung sind abgeschlossen, da sie komponentenweise stattfinden und die Addition bzw. Multiplikation in abgeschlossen sind.
    • ist eine abelsche Gruppe, da die Innere Verknüpfung komponentenweise stattfindet und die Eigenschaften der Inneren Verknüpfung auf die Eigenschaften der Addition in zurückgeführt werden können.
    • Das Eins-Axiom ist erfüllt, da die Äußere Verknüpfung komponentenweise stattfindet und auf die Eigenschaft des multiplikativen neutralen Elements zurück geführt werden kann.
    • ist ebenfalls erfüllt, da die Äußere Verknüpfung komponentenweise abläuft und sich somit auf die Assoziativität der Multiplikation in zurückführen lässt.
    • ist erfüllt, da die Innere und Äußere Verknüpfung komponentenweise definiert sind und sich dies Eigenschaft auf das Distributivgesetz in zurückführen lässt.
    • ist erfüllt, da die Innere und Äußere Verknüpfung komponentenweise definiert sind und sich dies Eigenschaft auf das Distributivgesetz in zurückführen lässt.

Hilberträume[Bearbeiten]

  • Eine Norm auf dem , welche der Norm auf dem ähnelt ist durch
 

gegeben. Damit lässt sich für den gegebenen Vektor bestimmen.

  • Die Sesquilinearität lässt sich zeigen, indem sie auf die Linearität von Summen zurückgeführt wird. Die Hermitizität lässt sich durch einsetzen zeigen. Die Positive Definitheit lässt sich durch die Positive Definitheit des Betrags in den Komplexen Zahlen zeigen.
  • Die passende Wahl ist
  • Die Vektoren sind linear unabhänigig. Schon in der ersten Zeile würde sich bei Trennung von Real- und Imaginärteil und ergeben.
  • Die Linearkombination lässt sich in ein Skalarpdukt mit mit einem beliebigen aber festen nehmen. Wegen der Orthogonalität muss daher gelten, was nach sich zieht. Da beliebig war, gilt dies für jedes .
  • Durch einfaches Einsetzen kann die Aussage bewiesen werden. Für den kann die Basis gewählt werden. In dieser ist die -te Komponente des Vektors gerade Eins. Üblicherweise wird die Zahl dabei in Binärdarstellung angegeben, wodurch sich bspw.

ergibt.

Operatoren[Bearbeiten]

  • Die gegebenen Vektoren bilden eine Orthonormalbasis, da und gelten. Damit lassen sich die Matrixelemente

bestimmen. Die Matrix selbst ist daber durch


gegeben.

  • Es lassen sich

und


finden.

  • Mit lässt sich

finden. Da kein Eigenvektor sein darf, muss sein. Mit wird stattdessen der Ausdruck


gefunden. Da ist, muss sein, die Vektoren sind daher orthogonal.

  • Durch Einsetzen wird die Aussage bewiesen
  • Mit

lässt sich auch


ermitteln. Es ist zu beachten, dass gilt.

  • Es lassen sich die beiden Produkte

bestimmen, wodurch sich


ergibt. Insgesamt erfüllen die Pauli-Matrizen die Kommutatorrelation wobei das Levi-Civita-Symbol beschreibt und für eine gerade Permutation von , für eine ungerade Permutation von und sonst ist. (Sie können verwendet werden, um den Spin von Teilchen zu beschreiben.)

Grundlegende Begriffe des Quantencomputing[Bearbeiten]

Qubits und Grundlegende Operationen auf einem Qubit[Bearbeiten]

  • Es lässt sich die Projektion bestimmen, so dass sich die Wahrscheinlichkeit ergeben muss.
  • Zunächst lässt sich
 

bestimmen. Dies kann mit


verglichen werden, um , und zu finden. Also kann


geschrieben werden.

  • Es kann

gefunden werden.

  • Die Wahrscheinlichkeit ist durch

gegeben.

Mehrere Qubits und Register[Bearbeiten]

  • Ja, denn

  • , , ,

Nach der Messung ergibt sich mit einer Wahrscheinlichkeit der Zustand


Wird stattdessen auf den Zustand angewandt, so kann der Zustand


gefunden werden.

Eine kurze Einführung in Qiskit[Bearbeiten]

Einige einfachen Quantenalgorithmen[Bearbeiten]

Quantenteleportation und -kryptographie[Bearbeiten]