Diese Seite beinhaltet Lösungen zu allen Aufgaben aus den einzelnen Kapiteln des Kurs Quantencomputing.










also muss auch
gelten. Da die Eigenwerte unterschiedlich sein sollen
muss demnach
gelten. Daher sind Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten einer symmetrischen Matrix
orthogonal.





ist mit der Verknüpfung
und dem Neutralen Element
eine abelsche Gruppe. Um das zu zeigen, ist es hilfreich zuerst an der Verknüpfungstabelle abzulesen, dass die Verknüpfung
- abgeschlossen
- kommutativ (
abelsch)
ist. Die Assoziativität
kann für die acht möglichen Fälle ausprobiert werden.
Das Inverse Element zu
ist
und das Inverse Element zu
ist
. Insgesamt handelt es sich also um eine abelsche Gruppe.
ist ein Monid, da die Addition der nicht negativen Zahlen abgeschlossen und assoziativ ist.
ist das Inverse Element der Addtion und Teil der Menge
. Es handelt sich um keine Gruppe, da die Gleichung
keine Lösung in
hat, wenn
ist.
ist eine abelsche Gruppe, da die Multiplikation rationaler Zahlen abgeschlossen, assoziativ und kommutativ ist. Das Neutrale Element ist
und in der Menge
enthalten. Jedes Element
hat das Inverse Element
in der betrachten Menge, da
nicht Teil der Menge ist und daher
ist.
ist eine abelsche Gruppe, da die Additon reeller Zahlen abgeschlossen, assoziativ und kommutativ ist. Das neutrale Element
ist eine relle Zahl und zu jeder Zahl
ist das additive Inverse
Teil der Menge.
ist ein Monoid. Die Matrixmultiplikation ist abgeschlossen und assoziativ. Sie ist nicht kommutativ! Das Neutrale Element
ist Teil der rellen
Matrizen. Jedoch ist nicht jede Matrix Invertierbar. Eine Matrix die nur Nullen als Eintrag hat, kann bspw. durch keine Matrixmultiplikation das Ergebnis
haben. (Würde die Invertierbarkeit gefordert werdeb, durch
, würde es sich um eine Gruppe handeln, die aber nach wie vor nicht abelsch ist.)
- Damit es sich um einen Körper handelt, muss
eine abelsche Gruppe sein. Nun ist aber
keine Gruppe, da es für die Gleichung
keine Lösung in
gibt. Es gibt also keine Inversen.
- Die fehlenden Inversen im Fall von
werden durch das Betrachten von
umgangen. Die rationalen Zahlen bilden sowohl bzgl. der Addition, wie auch bzgl. der Multiplikation (unter Herausnehmen des Elements
) jeweils eine abelsche Gruppe. In den rationalen Zahlen gilt das Distributivgesetz.
- (optional) Die Elemente von
sind durch
gegeben.
ist bezüglich der Addition eine abelsche Gruppe, denn die Addition ist abgeschlossen, assoziativ und kommutativ. Das Neutrale Element ist
und es gibt zu jedem Element ein additives Inverses. (Ist
das Element, so ist
das Inverse.
- Auf
gilt das Distributivgesetz.
ist im Allgemeinen jedoch keine abelsche Gruppe, da es teilweise keine Inversen gibt. Als Beispiel kann hier
mit den Elementen
betrachtet werden. Es zeigt sich, dass
keine Lösung in der betrachteten Menge hat.
- Es handelt sich um einen Körper, falls
eine Primzahl ist.
- Bei
handelt es sich im allgemeinen um einen sogenannten Ring.


- Ist
ein Vektorraum?
- Die Innere und Äußere Verknüpfung sind abgeschlossen, da sie komponentenweise stattfinden und die Addition bzw. Multiplikation in
abgeschlossen sind.
ist eine abelsche Gruppe, da die Innere Verknüpfung komponentenweise stattfindet und die Eigenschaften der Inneren Verknüpfung auf die Eigenschaften der Addition in
zurückgeführt werden können.
- Das Eins-Axiom
ist erfüllt, da die Äußere Verknüpfung komponentenweise stattfindet und auf die Eigenschaft des multiplikativen neutralen Elements zurück geführt werden kann.
ist ebenfalls erfüllt, da die Äußere Verknüpfung komponentenweise abläuft und sich somit auf die Assoziativität der Multiplikation in
zurückführen lässt.
ist erfüllt, da die Innere und Äußere Verknüpfung komponentenweise definiert sind und sich dies Eigenschaft auf das Distributivgesetz in
zurückführen lässt.
ist erfüllt, da die Innere und Äußere Verknüpfung komponentenweise definiert sind und sich dies Eigenschaft auf das Distributivgesetz in
zurückführen lässt.
- Eine Norm auf dem
, welche der Norm auf dem
ähnelt ist durch
gegeben. Damit lässt sich für den gegebenen Vektor
bestimmen.
- Die Sesquilinearität lässt sich zeigen, indem sie auf die Linearität von Summen zurückgeführt wird. Die Hermitizität lässt sich durch einsetzen zeigen. Die Positive Definitheit lässt sich durch die Positive Definitheit des Betrags in den Komplexen Zahlen zeigen.

- Die passende Wahl ist

- Die Vektoren sind linear unabhänigig. Schon in der ersten Zeile würde sich bei Trennung von Real- und Imaginärteil
und
ergeben.
- Die Linearkombination
lässt sich in ein Skalarpdukt mit
mit einem beliebigen aber festen
nehmen. Wegen der Orthogonalität muss daher
gelten, was
nach sich zieht. Da
beliebig war, gilt dies für jedes
.
- Durch einfaches Einsetzen kann die Aussage bewiesen werden. Für den
kann die Basis
gewählt werden. In dieser ist die
-te Komponente des Vektors gerade Eins. Üblicherweise wird die Zahl
dabei in Binärdarstellung angegeben, wodurch sich bspw.
ergibt.
- Die gegebenen Vektoren bilden eine Orthonormalbasis, da
und
gelten. Damit lassen sich die Matrixelemente
bestimmen. Die Matrix selbst ist daber durch
gegeben.
und
finden.
- Mit
lässt sich
finden. Da
kein Eigenvektor sein darf, muss
sein.
Mit
wird stattdessen der Ausdruck
gefunden. Da
ist, muss
sein, die Vektoren sind daher orthogonal.
- Durch Einsetzen wird die Aussage bewiesen
- Mit
lässt sich auch
ermitteln. Es ist zu beachten, dass
gilt.
- Es lassen sich die beiden Produkte
bestimmen, wodurch sich
ergibt. Insgesamt erfüllen die Pauli-Matrizen die Kommutatorrelation
wobei
das Levi-Civita-Symbol beschreibt und
für eine gerade Permutation von
,
für eine ungerade Permutation von
und sonst
ist. (Sie können verwendet werden, um den Spin von Teilchen zu beschreiben.)
Grundlegende Begriffe des Quantencomputing
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- Es lässt sich die Projektion
bestimmen, so dass sich die Wahrscheinlichkeit
ergeben muss.
- Zunächst lässt sich
bestimmen. Dies kann mit
verglichen werden, um
,
und
zu finden. Also kann
geschrieben werden.
gefunden werden.
- Die Wahrscheinlichkeit ist durch
gegeben.

- Ja, denn


,
,
, 

Nach der Messung ergibt sich mit einer Wahrscheinlichkeit
der Zustand
Wird stattdessen
auf den Zustand
angewandt, so kann der Zustand
gefunden werden.
Quantenteleportation und -kryptographie
[Bearbeiten]