Kurs:Quantencomputing/Körper

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Definiton

Eine Menge $K$, die über die beiden zweistelligen Verknüpfungen $\oplus :K\times K\to K$ und $\odot :K\times K\to K$ verfügt, wird als Körper bezeichnet, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind

• $(K,\oplus ,0)$ ist eine abelsche Gruppe
• $(K\setminus \{0\},\odot ,1)$ ist eine abelsche Gruppe
• Das Disributivgesetz $a\cdot (b\oplus c)=a\cdot b\oplus a\cdot c$ gilt für alle Elemente $a,b,c\in K$.

Aufgaben

• Begründe weshalb $\mathbb {Z}$ mit Addition und Multiplikation kein Körper ist.
• Warum ist $\mathbb {Q}$ mit Addition und Multiplikation ein Körper?
• (optional) Mit Modulorechnung lässt sich mit den Resten von Division rechnen. $a\,\mathrm {mod} \,b=c$ bedeutet $a$ lässt bei Divison mit $b$ den Rest $c$. Die Menge der möglichen Reste bei Division mit $n$ wird als $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ (sprich: "Z modulo n Z") bezeichnet. Warum ist $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ mit Addition und Multpiplikation im allgemeinen kein Körper? Welche Bedingung muss an die Zahl $n$ gestellt werden, damit es sich um einen Körper handelt?
  
  

Lösungen

Siehe auch

• Weitere Informationen können in dem Wikipedia-Artilel Körper gefunden werden.