Kurs:Quantencomputing/Operator

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Bra-Vekotren

Ist ein Vektor $|v\rangle$ im $\mathbb {C} ^{N}$ gegeben, so ist der dazugehörige Bra-Vektor durch

$\langle v|=(|v\rangle )^{\dagger }={\begin{pmatrix}v_{0}^{*}&v_{1}^{*}&\cdots &v_{N-1}^{*}\end{pmatrix}}$

gegeben. $\dagger$ wird dabei "dagger" gesprochen und bezeichnet das Adjungierte zu $|v\rangle$

Matrizen

Auch auf dem $\mathbb {C} ^{N}$ lassen sich Matrizen definieren. Diese können auch komplexwertige Einträge haben und bilden deshalb die Menge $\mathbb {C} ^{N\times N}$. Allgemeiner wird auf Hilberträumen von linearen Operatoren gesprochen, welche die Bedingung

$A(\lambda |v\rangle +\mu |w\rangle )=\lambda (A|v\rangle )+\mu (A|w\rangle )$

erfüllen.

Aus der Definition der vollständigen Orthonormalbasis $\{|n\rangle \}$

$|v\rangle =\sum _{n}|n\rangle \langle n|v\rangle$

für alle beliebigen $|v\rangle$ lässt sich die Darstellung

$I=\sum _{n}|n\rangle \langle n|$

für die Einheitsmatrix herleiten.

Matrixdarstellung

Ist die Wirkung einer Matrix auf die Basisvektoren $\{|n\rangle \}$ einer Orthonormalbasis bekannt, so lassen sich durch

$A=IAI=\left(\sum _{n}|n\rangle \langle n|\right)A\left(\sum _{m}|m\rangle \langle m|\right)=\sum _{nm}\langle n|A|m\rangle |n\rangle \langle m|$

die Matrixelemente $A_{nm}=\langle n|A|m\rangle$ in dieser Basis bestimme.

Hermitesch Adjungierte

Die hermitesch adjungierte Matrix (Operator) ist durch

$(A^{\dagger })_{ij}=A_{ji}^{*}$

definiert. Es werden also die Zeilen und Spalten getauscht und die Einträge komplex konjugiert. $A^{\dagger }$ hat auf $\langle v|$ die gleiche Wirkung, wie $A$ auf $|v\rangle$.

Beim Adjungieren werden

• Skalare $\lambda$ zu ihrem komplex Konjugierten $\lambda ^{*}$
• Operatoren $A$ und $B$ zu ihren Adjungierten $A^{\dagger }$ und $B^{\dagger }$
• Ket-Vektoren $|v\rangle$ zu Bra-Vektoren $\langle v|$
• Bra-Vektoren $\langle w|$ zu Ket-Vektoren $|w\rangle$
• die Reihenfolge aller Ausdrücke umgekehrt

Mit diesen Regeln ergibt sich

$(\langle w|\lambda AB|v\rangle )^{\dagger }=\langle v|B^{\dagger }A^{\dagger }\lambda ^{*}|w\rangle$

Hermitesche Matrizen (Operatoren)

Eine Matrix $H$ heißt hermitesch oder selbstadjungiert, wenn $H^{\dagger }=H$ gilt. Sie besitzt reelle Eigenwerte und ihre Eigenvektoren bilden eine vollständige Orthonormalbasis.

Die Pauli-Matrizen

Die Pauli-Matrizen sind durch

$\sigma _{x}=X={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\quad \quad \sigma _{y}=Y={\begin{pmatrix}0&-\mathrm {i} \\\mathrm {i} &0\end{pmatrix}}\quad \quad \sigma _{z}=Z={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

definiert. Sie sind hermitesch. Sie werden oft zu dem Vektor

${\vec {\sigma }}={\begin{pmatrix}\sigma _{x}\\\sigma _{y}\\\sigma _{z}\end{pmatrix}}$

zusammengefasst. Mit einem Punkt auf der Einheitskugel

${\vec {n}}={\begin{pmatrix}\cos {(\phi )}\sin {(\theta )}\\\sin {(\phi )}\sin {(\theta )}\\\cos {\theta }\end{pmatrix}}$

mit $\phi \in [0,2\pi )$ und $\theta \in [0,\pi ]$ lässt sich so die hermitesche Matrix

${\vec {n}}\cdot {\vec {\sigma }}={\begin{pmatrix}\cos {(\theta )}&\sin {(\theta )}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \phi }\\\sin {(\theta )}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \phi }&\cos {(\theta )}\end{pmatrix}}$

aufstellen. Diese hat die Eigenvektoren

$|v_{+}\rangle ={\begin{pmatrix}\cos {(\theta /2)}\\\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \phi }\sin {(\theta /2)}\end{pmatrix}}\quad \quad |v_{-}\rangle ={\begin{pmatrix}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \phi }\sin {(\theta /2)}\\\cos {(\theta /2)}\end{pmatrix}}$

mit den Eigenwerten $({\vec {n}}\cdot {\vec {\sigma }})|v_{+}\rangle =(+1)|v_{+}\rangle$ und $({\vec {n}}\cdot {\vec {\sigma }})|v_{-}\rangle =(-1)|v_{-}\rangle$.

Unitäre Matrix (Operator)

Eine Matrix $U$ ist unitär, wenn sie $UU^{\dagger }=U^{\dagger }U=I$ erfüllt. Sie ist normerhaltend: $\|U|v\rangle \|=\||v\rangle \|$.

Unitäre Matrizen im $\mathbb {C} ^{2}$ lassen sich durch

$U(\theta ,\phi ,\lambda )={\begin{pmatrix}\cos {(\theta /2)}&-\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \lambda }\sin {(\theta /2)}\\\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \phi }\sin {(\theta /2)}&\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\phi +\lambda )}\cos {(\theta /2)}\end{pmatrix}}$

mit $\theta \in [0,\pi ]$, $\phi ,\lambda \in [0,2\pi )$. Diese Darstellung wird auch in qiskit verwendet.

Kommutator

Die Größe

$[A,B]=AB-BA$

heißt Kommutator. Ist er bekannt erlaubt er es die Ersetzung

$AB|v\rangle =BA|v\rangle +[A,B]|v\rangle$

vorzunehmen.

Aufgaben

• Bestimme die Matrixdarstellung von $A$, wenn die Wirkung auf die Basis

$|0\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\\mathrm {i} \end{pmatrix}}\quad \quad |1\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\mathrm {i} \\1\end{pmatrix}}$

durch $A|0\rangle =\mathrm {i} |1\rangle$ und $A|1\rangle =-\mathrm {i} |0\rangle$ gegeben ist.

• Zeige durch explizite Rechnung, dass $(\lambda A|v\rangle )^{\dagger }=\langle v|A^{\dagger }\lambda ^{*}$ gilt, mit den Größen

$A={\begin{pmatrix}1-\mathrm {i} &2+\mathrm {i} \\3-2\mathrm {i} &-2+\mathrm {i} \end{pmatrix}}\quad \quad \lambda =2+\mathrm {i} \quad \quad |v\rangle ={\begin{pmatrix}1+\mathrm {i} \\-2+\mathrm {i} \end{pmatrix}}$

• Betrachte einen hermiteschen Operator $H$ mit den Eigenvektoren $H|h_{i}\rangle =h_{i}|h_{i}\rangle$ und verwende den Ausdruck $0=\langle h_{1}|(H^{\dagger }-H)|h_{2}\rangle$, um zu zeigen, dass
  • die Eigenwerte reell sind
  • die Eigenvektoren zu unterschiedlichen Eigenwerten orthogonal sind.
• Zeige, dass $|v_{\pm }\rangle$ die Eigenvektoren zu den gegebenen Eigenwerten für ${\vec {n}}\cdot {\vec {\sigma }}$ sind. Tipp: Benutze die Additionstheoreme

$\cos {(\theta )}=\cos ^{2}{(\theta /2)}-\sin ^{2}{(\theta /2)}\quad \quad \sin {(\theta )}=2\sin {(\theta /2)}\cos {(\theta /2)}$

• (optional) Zeige, dass $U(\theta ,\phi ,\lambda )$ unitär ist.
• Bestimme $[X,Y]$.

Lösungen

Siehe auch

• Weitere Informationen zu den Bra- und Ket-Vektoren können in dem Wikipedia-Artilel Dirac-Notation gefunden werden.
• Weitere Informationen zu den Adjungierten Matrizen können in dem Wikipedia-Artilel Adjungierte Matrix gefunden werden.
• Weitere Informationen zu den hermiteschen Matrizen können in dem Wikipedia-Artilel Hermitesche Matrix gefunden werden.
• Weitere Informationen zu den Pauli-Matrizen können in dem Wikipedia-Artilel Pauli-Matrizen gefunden werden.
• Weitere Informationen zu den unitären Matrizen können in dem Wikipedia-Artilel Unitäre Matrix gefunden werden.
• Weitere Informationen zum Kommutator können in dem Wikipedia-Artilel Kommutator (Mathematik) gefunden werden.