Kurs:Quantencomputing/Hilbertraum

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Norm

Eine Abbildung $\|\cdot \|:V\to \mathbb {R} _{0}^{+}$ heißt Norm, wenn sie die folgenden Bedingungen erfüllt:

• Definitheit: $\||v\rangle \|=0\Rightarrow |v\rangle =0$
• Abolute Homogenität: $\|\lambda \cdot |v\rangle \|=|\lambda |\cdot \||v\rangle \|$
• Dreiecksungleichung: $\||v\rangle +|w\rangle \|\leq \||v\rangle \|+\||w\rangle \|$

Ein Vektorraum mit einer Norm heißt normierter Raum.

Skalarprodukt

Eine zweistellige Verknüpfung $\langle \cdot |\cdot \rangle :V\times V\to \mathbb {K}$ vom Vektorraum $V$ auf die rellen oder komplexen Zahlen $\mathbb {K} \in \{\mathbb {C} ,\mathbb {R} \}$ heißt Skalarprodukt, falls sie die folgenden Bedingungen erfüllt:

• Sesquilinearität: $\langle v|\lambda w+\mu u\rangle =\lambda \langle v|w\rangle +\mu \langle v|u\rangle$
• Hermitizität: $\langle w|v\rangle =(\langle v|w\rangle )^{*}$
• Positive Definitheit: $\langle v|v\rangle \geq 0$; $\langle v|v\rangle =0\Leftrightarrow |v\rangle =0$

Ist $\langle v|w\rangle =0$, so heißen $|v\rangle$ und $|w\rangle$ orthogonal.

Mit dem Skalarprodukt lässt sich eine Norm über $\||v\rangle \|={\sqrt {\langle v|v\rangle }}$ aufstellen. Sie wird als skalarprodukt induzierte Norm bezeichnet.

Aus der Definition des Skalarprodukts folgt die Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung:

$|\langle v|w\rangle |^{2}\leq \langle v|v\rangle \langle w|w\rangle$

Besitzt ein Vektorraum ein Skalarprodukt, so wird er als Skalarproduktraum bezeichnet.

Cauchy-Folgen

Eine Folge von Elementen $|v_{n}\rangle \in V$ eines normierten Raums mit $n\in \mathbb {N}$ heißt Cauchy-Folge, wenn für ein beliebiges $\epsilon >0$ immer ein $N_{\epsilon }\in \mathbb {N}$ existiert, so dass für alle $n,m\geq N_{\epsilon }$ die Gleichung

$\||v_{n}\rangle -|v_{m}\rangle \|<\epsilon$

erfüllt ist. Die Abstände zwischen Folgegliedern werden daher beliebig klein.

Definiton des Hilbertraums

Ein Skalarproduktraum heißt Hilbertraum, wenn mit der skalarproduktinduzierten Norm alle Cauchy-Folgen konvergieren.

Wir werden vor allem den $\mathbb {C} ^{N}$ betrachten. Mit dem in den Aufgaben eingeführten Skalarprodukt, handelt es sich um einen Hilbertraum.

Lineare Unabhängigkeit

Eine Menge von $M$ Vektoren $|v_{m}\rangle \in V$ eines Vektorraums $V$ und eine Menge von $M$ reellen oder komplexen Zahlen $\lambda \in \mathbb {K}$ bilden den Ausdruck

$\lambda _{0}|v_{0}\rangle +\lambda _{1}|v_{1}\rangle +\cdots +\lambda _{M-1}|v_{M-1}\rangle$

der als Linearkombination bezeichnet wird.

Ist die einzige Lösung zur Gleichung

$\lambda _{0}|v_{0}\rangle +\lambda _{1}|v_{1}\rangle +\cdots +\lambda _{M-1}|v_{M-1}\rangle =0$

durch $\lambda _{0}=\lambda _{1}=\cdots =\lambda _{M-1}=0$ gegeben, so wird die Menge der $M$ Vektoren als linear unabhängig bezeichnet.

Jede Menge von $M$ paarweise orthogonalen Vektoren

$\langle v_{n}|v_{m}\rangle =0\quad n\neq m$

eines Skalarproduktraums ist eine Menge linear unabhängiger Vektoren.

Vollständige Orthonormalbasis

Eine Menge $B$ mit den Elementen $|n\rangle \in V$ eines Hilbertraums wird als vollständige Orthonormalbasis bezeichnet, wenn die Bedingung

$\langle n|m\rangle =0\quad n\neq m;\quad \quad \langle n|n\rangle =1$

erfüllt ist und für beliebige $|v\rangle \in V$ der Zusammenhang

$|v\rangle =\sum _{n}|n\rangle \langle n|v\rangle$

gilt.

Aufgaben

• Wie lässt sich die Norm auf dem $\mathbb {R} ^{n}$ auf den $\mathbb {C} ^{N}$ verallgemeinern? Finde damit die Norm von $|v\rangle ={\begin{pmatrix}2+\mathrm {i} \\-3+2\mathrm {i} \end{pmatrix}}$.
• Zeige, dass $\langle v|w\rangle =\sum _{k=0}^{N-1}=v_{k}^{*}w_{k}$ ein Skalarprodukt auf dem $\mathbb {C} ^{N}$ ist.
• (optional) Bestimme einen allgemeinen Ausdruck für $\langle \lambda v+\mu w|u\rangle$
• (optional) Zeige die Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung, indem Du den Ausdruck $\langle v-\lambda w|v-\lambda w\rangle$ für ein passendes $\lambda$ auswertest.
• Sind die Vektoren $|v\rangle ={\begin{pmatrix}1+\mathrm {i} \\-2+3\mathrm {i} \end{pmatrix}}$ und $|w\rangle ={\begin{pmatrix}0+2\mathrm {i} \\-5+\mathrm {i} \end{pmatrix}}$ linear unabhägig?
• (optional) Beweise, dass eine Menge von $M$ paarweise orthogonalen Vektoren eine Menge von linear unabhängigen Vektoren ist.
• Betrachte die Vektoren $|0\rangle ={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},|1\rangle ={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ und zeige, dass diese eine Bais des $\mathbb {C} ^{2}$ bilden. Wie lässt sich dies auf den $\mathbb {C} ^{N}$ übertragen.

Lösungen

Siehe auch

• Weitere Informationen können in den Wikipedia-Artileln Norm, Skalarprodukt, Cauchy-Folge, Hilbertraum, Lineare Unabhängigkeit und Basis gefunden werden.