Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 1/latex
\setcounter{section}{1}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {{\mathbb C} \setminus \{0\}} {{\mathbb C} } {x} {f(x)=x^n } {,} für jedes $n \in \Z$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{}
\mathl{\exp x}{} in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
ist und bestimme die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Beweise die Funktionalgleichung der komplexen Exponentialfunktion, also die Identität
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp \left( z+w \right)
}
{ =} { \exp z \cdot \exp w
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z,w
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {komplexe Exponentialfunktion}{}{} \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} \setminus \{0\} } {z} { \exp z } {,} \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Besitzt die \definitionsverweis {komplexe Exponentialfunktion}{}{} \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} \setminus \{0\} } {z} { \exp z } {,} eine \definitionsverweis {differenzierbare}{}{} \definitionsverweis {Umkehrfunktion}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Taylor-Reihe}{}{}
der
\definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{}
für einen beliebigen Entwicklungspunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Hauptsätze der Funktionentheorie wie Satz 1.2, Satz 1.3, Korollar 1.4, Korollar 1.5, Satz 1.6, Satz 1.7, Satz 2.1 und Satz 2.2 nicht im Reellen gelten.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Hauptsätze der Funktionentheorie wie Satz 1.3, Korollar 1.4, Korollar 1.5, Satz 1.6, Satz 1.7, Satz 2.1 und Satz 2.2 nicht ohne die Voraussetzung, dass der Definitionsbereich \definitionsverweis {zusammenhängend}{}{} ist, gelten.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der Satz von Liouville nicht für eine offene Kreisscheibe gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es auf einer \definitionsverweis {offenen Kreisscheibe}{}{} \definitionsverweis {unbeschränkte}{}{} \definitionsverweis {holomorphe Funktionen}{}{} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ = }{ U { \left( 0,r \right) }
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine offene Kreisscheibe und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ = }{ U \setminus \{0\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei $f$ eine
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{}
auf $V$ und seien $\alpha_0 , \ldots , \alpha_{d-1}$ holomorphe Funktionen auf $U$. Es erfülle $f$ die Ganzheitsgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^d + \alpha_{d-1} f^{d-1} + \cdots + \alpha_2f^2+ \alpha_1 f+\alpha_0
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf $V$. Zeige, dass $f$ auf ganz $U$ holomorph ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass durch die \definitionsverweis {Abbildungen}{}{} \maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb H} } { U { \left( 0,1 \right) } } { z} { { \frac{ z- { \mathrm i} }{ z + { \mathrm i} } } } {,} und \maabbeledisp {\psi} { U { \left( 0,1 \right) } } { {\mathbb H} } {w} { { \frac{ (w+1) { \mathrm i} }{ 1-w } } } {,} eine \definitionsverweis {biholomorphe Abbildung}{}{} zwischen der \definitionsverweis {oberen Halbebene}{}{} ${\mathbb H}$ und der offenen Einheitskreisscheibe $U { \left( 0,1 \right) }$ gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Ableitungen
\mathkor {} {{ \frac{ \partial }{ \partial z } }} {und} {{ \frac{ \partial }{ \partial \overline{ z } } }} {}
von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(z)
}
{ = }{ z^a \overline{ z }^b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Ableitung
\mathl{{ \frac{ \partial }{ \partial \overline{ z } } }}{} von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(z)
}
{ =} { \overline{ z }^3+5 z^2 \overline{ z }^2 -3 z^2 \overline{ z } + z \overline{ z }^2 +2 z \overline{ z } +4 z +3 \overline{ z }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne
\mathl{{ \frac{ \partial }{ \partial \overline{ z } } }}{} von
\mathl{\arctan { \left( z \overline{ z } \right) }}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $V$ ein
$\Complex$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und es seien
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
und
\maabbdisp {\psi} {V} {V
} {}
\definitionsverweis {antilineare}{}{}
Abbildungen. Zeige, dass die Verknüpfung
\mathl{\varphi \circ \psi}{}
\definitionsverweis {linear}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $V_1 , \ldots , V_n, V_{n+1}$
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über ${\mathbb C}$, es seien
\maabbdisp {\varphi_i} {V_i} {V_{i+1}
} {}
\definitionsverweis {lineare}{}{}
oder
\definitionsverweis {antilineare}{}{}
Abbildungen und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi
}
{ =} { \varphi_n \circ \varphi_{n-1} \circ \cdots \circ \varphi_2 \circ \varphi_1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
der Abbildungen. Zeige durch Induktion über $n$ die beiden folgenden Aussagen.
\aufzaehlungzwei {Wenn die Anzahl der antilinearen Abbildungen gerade ist, so ist $\varphi$ linear.
} {Wenn die Anzahl der antilinearen Abbildungen ungerade ist, so ist $\varphi$ antilinear.
}
Gilt von diesen Aussagen auch die Umkehrung?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ \in }{ \N_{\geq 2}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es auf keiner
\definitionsverweis {offenen Umgebung}{}{}
der
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ \in }{ V
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{}
\maabbdisp {h} {V} { {\mathbb C}
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ = }{ h^k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf $V$ gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir versuchen, für eine jede komplexe Zahl $z$ eine eindeutige Quadratwurzel festzulegen, indem wir aus den beiden Möglichkeiten
\mathl{\pm \sqrt{z}}{} diejenige Quadratwurzel auswählen, die einen positiven Realteil hat bzw. diejenige, falls der Realteil gleich $0$ ist, die einen nichtnegativen Imaginärteil hat. Zeige, dass die so definierte Funktion $\sqrt{z}$ an der Stelle $-1$ nicht
\definitionsverweis {stetig}{}{}
ist.
}
{} {Tipp: Betrachte diese Funktion auf dem Einheitskreisbogen um $-1$.}