Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 1

Aufgaben

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

$f\colon {\mathbb {C} }\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,x\longmapsto f(x)=x^{n},$

 für jedes ${}n\in \mathbb {Z}$.

Aufgabe

Zeige, dass die Exponentialfunktion ${}\exp x$ in jedem Punkt ${}a\in {\mathbb {C} }$ differenzierbar ist und bestimme die Ableitung.

Aufgabe *

Beweise die Funktionalgleichung der komplexen Exponentialfunktion, also die Identität

${}\exp \left(z+w\right)=\exp z\cdot \exp w\,$

für ${}z,w\in {\mathbb {C} }$.

Aufgabe *

Zeige, dass die komplexe Exponentialfunktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{0\},\,z\longmapsto \exp z,$

surjektiv ist.

Aufgabe *

Besitzt die komplexe Exponentialfunktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{0\},\,z\longmapsto \exp z,$

eine differenzierbare Umkehrfunktion?

Aufgabe

Bestimme die Taylor-Reihe der Exponentialfunktion für einen beliebigen Entwicklungspunkt ${}a\in {\mathbb {C} }$.

Aufgabe

Zeige, dass die Hauptsätze der Funktionentheorie wie Satz 1.2, Satz 1.3, Korollar 1.4, Korollar 1.5, Satz 1.6, Satz 1.7, Satz 2.1 und Satz 2.2 nicht im Reellen gelten.

Aufgabe

Zeige, dass die Hauptsätze der Funktionentheorie wie Satz 1.3, Korollar 1.4, Korollar 1.5, Satz 1.6, Satz 1.7, Satz 2.1 und Satz 2.2 nicht ohne die Voraussetzung, dass der Definitionsbereich zusammenhängend ist, gelten.

Aufgabe

Zeige, dass der Satz von Liouville nicht für eine offene Kreisscheibe gilt.

Aufgabe

Zeige, dass es auf einer offenen Kreisscheibe unbeschränkte holomorphe Funktionen gibt.

Aufgabe

Es sei ${}U=U{\left(0,r\right)}\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Kreisscheibe und ${}V=U\setminus \{0\}$. Es sei ${}f$ eine holomorphe Funktion auf ${}V$ und seien ${}\alpha _{0},\ldots ,\alpha _{d-1}$ holomorphe Funktionen auf ${}U$. Es erfülle ${}f$ die Ganzheitsgleichung

${}f^{d}+\alpha _{d-1}f^{d-1}+\cdots +\alpha _{2}f^{2}+\alpha _{1}f+\alpha _{0}=0\,$

auf ${}V$. Zeige, dass ${}f$ auf ganz ${}U$ holomorph ist.

Aufgabe *

Zeige, dass durch die Abbildungen

$\varphi \colon {\mathbb {H} }\longrightarrow U{\left(0,1\right)},\,z\longmapsto {\frac {z-{\mathrm {i} }}{z+{\mathrm {i} }}},$

und

$\psi \colon U{\left(0,1\right)}\longrightarrow {\mathbb {H} },\,w\longmapsto {\frac {(w+1){\mathrm {i} }}{1-w}},$

eine biholomorphe Abbildung zwischen der oberen Halbebene ${}{\mathbb {H} }$ und der offenen Einheitskreisscheibe ${}U{\left(0,1\right)}$ gegeben ist.

Aufgabe

Bestimme die Ableitungen ${}{\frac {\partial }{\partial z}}$ und ${}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}$ von ${}f(z)=z^{a}{\overline {z}}^{b}$.

Aufgabe

Bestimme die Ableitung ${}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}$ von

${}f(z)={\overline {z}}^{3}+5z^{2}{\overline {z}}^{2}-3z^{2}{\overline {z}}+z{\overline {z}}^{2}+2z{\overline {z}}+4z+3{\overline {z}}\,.$

Aufgabe *

Berechne ${}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}$ von ${}\arctan {\left(z{\overline {z}}\right)}$.

Aufgabe *

Es sei ${}V$ ein ${}\mathbb {C}$- Vektorraum und es seien

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

und

$\psi \colon V\longrightarrow V$

antilineare Abbildungen. Zeige, dass die Verknüpfung ${}\varphi \circ \psi$ linear ist.

Aufgabe

Es seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n},V_{n+1}$ Vektorräume über ${}{\mathbb {C} }$, es seien

$\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow V_{i+1}$

lineare oder antilineare Abbildungen und es sei

${}\varphi =\varphi _{n}\circ \varphi _{n-1}\circ \cdots \circ \varphi _{2}\circ \varphi _{1}\,$

die Hintereinanderschaltung der Abbildungen. Zeige durch Induktion über ${}n$ die beiden folgenden Aussagen.

1. Wenn die Anzahl der antilinearen Abbildungen gerade ist, so ist ${}\varphi$ linear.
2. Wenn die Anzahl der antilinearen Abbildungen ungerade ist, so ist ${}\varphi$ antilinear.

Gilt von diesen Aussagen auch die Umkehrung?

Aufgabe

Es sei ${}k\in \mathbb {N} _{\geq 2}$. Zeige, dass es auf keiner offenen Umgebung der ${}0\in V\subseteq {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion

$h\colon V\longrightarrow {\mathbb {C} }$

mit ${}z=h^{k}$ auf ${}V$ gibt.

Aufgabe

Wir versuchen, für eine jede komplexe Zahl ${}z$ eine eindeutige Quadratwurzel festzulegen, indem wir aus den beiden Möglichkeiten ${}\pm {\sqrt {z}}$ diejenige Quadratwurzel auswählen, die einen positiven Realteil hat bzw. diejenige, falls der Realteil gleich ${}0$ ist, die einen nichtnegativen Imaginärteil hat. Zeige, dass die so definierte Funktion ${}{\sqrt {z}}$ an der Stelle ${}-1$ nicht stetig ist.

Tipp: Betrachte diese Funktion auf dem Einheitskreisbogen um ${}-1$.

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