Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 13/latex
\setcounter{section}{13}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Punkte und sei $f$ ein reellwertiger
\definitionsverweis {stetiger Keim}{}{}
in $x$ und $g$ ein stetiger Keim in $y$. Zeige, dass bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \neq }{ y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die beiden Keime miteinander
\definitionsverweis {verbunden}{}{}
sind, und dass bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ = }{ y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die beiden Keime nur dann verbunden sind, wenn sie gleich sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass für zwei Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P,Q
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf einer
\definitionsverweis {riemannschen Fläche}{}{}
ein
\definitionsverweis {holomorpher Keim}{}{}
in $P$ höchstens mit einem holomorphen Keim in $Q$
\definitionsverweis {verbunden}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {p} {Y} {X
} {}
eine
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{}
zwischen den
\definitionsverweis {topologischen Räumen}{}{}
\mathkor {} {X} {und} {Y} {}
mit $X$
\definitionsverweis {lokal wegzusammenhängend}{}{.}
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_1,x_2
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Punkte mit Urbildpunkten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y_1,y_2
}
{ \in }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei ${ \mathcal S }$ die
\definitionsverweis {Garbe der stetigen Schnitte}{}{}
auf $X$ mit Werten in $Y$ und seien
\mathkor {} {s_1} {bzw.} {s_2} {}
die
\definitionsverweis {Keime}{}{}
von ${ \mathcal S }$ in
\mathkor {} {x_1} {bzw.} {x_2} {,}
die den Werten
\mathkor {} {y_1} {bzw.} {y_2} {}
entsprechen
\zusatzklammer {vergleiche
Aufgabe 10.6} {} {.}
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass
\mathkor {} {s_1} {und} {s_2} {}
genau dann
\definitionsverweis {verbunden}{}{}
sind, wenn es eine
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_1,x_2
}
{ \in }{ U
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und einen stetigen Schnitt
\maabb {s} {U} {Y
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s(x_1)
}
{ = }{ y_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s(x_2)
}
{ = }{ y_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}{Zeige, dass
\mathkor {} {s_1} {und} {s_2} {}
genau dann
\definitionsverweis {schrittweise verbunden}{}{}
sind, wenn es einen
\definitionsverweis {stetigen Weg}{}{}
\maabbdisp {\gamma} {[0,1]} {Y
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma(0)
}
{ = }{ y_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma(1)
}
{ = }{ y_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}{
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt einer
\definitionsverweis {riemannschen Fläche}{}{}
$X$ und sei $f$ ein konstanter Funktionskeim in $P$. Zeige, dass die
\definitionsverweis {analytische Fortsetzung}{}{}
von $f$ längs eines Weges ebenfalls konstant mit dem gleichen Wert ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{}
und sei $f$ eine
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{}
auf $X$. Zeige, dass der Funktionskeim $f_Q$ zu einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nur zu einem Funktionskeim $f_P$
\zusatzklammer {in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
\definitionsverweis {analytisch fortgesetzt}{}{}
werden kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Der
\definitionsverweis {holomorphe Funktionskeim}{}{}
$f$ im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gehe aus dem holomorphen Funktionskeim $g$ im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch
\definitionsverweis {analytische Fortsetzung}{}{}
längs eines Weges $\gamma$ hervor. Zeige, dass dann auch die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
$f'$ durch analytische Fortsetzung längs $\gamma$ aus $g'$ hervorgeht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(z)
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ z } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf ${\mathbb C} \setminus \{0\}$ und die Parametrisierung
\maabbeledisp {} {[0,2 \pi]} { S^1 \subseteq {\mathbb C}
} {t} { e^{ { \mathrm i} t} = \cos t + { \mathrm i} \sin t
} {,}
des komplexen Einheitskreises.
\aufzaehlungfuenf{Bestimme die Potenzreihen von $f$ in den Punkten $1,{ \mathrm i},-1 ,- { \mathrm i}$. Diese Reihen seien
\mathl{f_1,f_2,f_3,f_4}{.} Was ist ihr Konvergenzradius?
}{Bestimme für die Potenzreihen
\mathl{f_1,f_2,f_3,f_4}{} aus (1) Stammreihen
\mathl{g_1, g_2, g_3, g_4}{.} Dabei sollen die Reihen
\mathkor {} {g_i} {und} {g_{i+1}} {}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ = }{ 1,2,3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in ihren Übergangsbereichen übereinstimmen.
}{Zeige, dass
\mathkor {} {g_4} {und} {g_1} {}
in ihrem Übergangsbereich nicht übereinstimmen.
}{Bestimme eine Stammreihe $g_5$ von $f_1$, die mit $g_4$ auf dem Übergangsbereich übereinstimmt.
}{Zeige, dass der Funktionskeim $g_5$ aus dem Funktionskeim $g_1$ durch analytische Fortsetzung längs $\gamma$ hervorgeht.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme in der Potenzreihenentwicklung
\mathl{\sum_{n = 1}^\infty c_n (Z-1)^n}{} mit Entwicklungspunkt $1$ der Quadratwurzel von $Z$ mit dem konstanten Koeffizienten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_0
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Koeffizienten
\mathl{c_1,c_2,c_3,c_4}{.} Wie lautet die Antwort bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_0
}
{ = }{ -1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme in der Potenzreihenentwicklung
\mathl{\sum_{n = 1}^\infty c_n (Z- { \mathrm i} )^n}{} mit Entwicklungspunkt ${ \mathrm i}$ der Quadratwurzel von $Z$ mit dem konstanten Koeffizienten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_0
}
{ = }{ { \frac{ 1+ { \mathrm i} }{ \sqrt{2} } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Koeffizienten
\mathl{c_1,c_2,c_3,c_4}{.} Wie lautet die Antwort bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_0
}
{ = }{ - { \frac{ 1+ { \mathrm i} }{ \sqrt{2} } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
fixiert. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ {\mathbb C} \setminus \{0\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei eine
\definitionsverweis {Potenzreihe}{}{}
$f$ mit Entwicklungspunkt $a$ gegeben, die eine $n$-te Wurzel beschreibt, es sei also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f
}
{ =} { \sum_{k = 0}^\infty c_k (z-a)^k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f^n
}
{ = }{ z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die analytische Fortsetzung zu $f$
\zusatzklammer {aufgefasst als holomorpher Funktionskeim} {} {}
aus
Lemma 13.14
mit der $n$-ten Potenzüberlagerung aus
Beispiel 6.2
übereinstimmt.
}
{} {}