Riemannsche Fläche/Holomorpher Funktionskeim/Ausbreitungsraum/Zusammenhangskomponente/Fakt

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche,  $P\in X$  und  $f\in {𝒪}_{X,P}$  ein holomorpher Funktionskeim. Dann besitzt diejenige Zusammenhangskomponente $Z$ des Ausbreitungsraumes $E$ zur Strukturgarbe, die den Punkt $(P,f)$ enthält, folgende Eigenschaften.

1. Es gibt eine holomorphe Funktion $g:Z\to ℂ$, die den Keim $f$ (aufgefasst in ${𝒪}_{Z,(P,f)}$) fortsetzt.
2. Das Bild von

   $Z⟶X$

   besteht aus allen Punkten  $Q\in X$,  für die es eine analytische Fortsetzung von $f$ zu einem Keim in $Q$ gibt.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen