Punktierte komplexe Zahlen/Potenz/Überlagerung/Beispiel

Zu  ${}n\in \mathbb {N} _{+}$  ist

$\varphi \colon {\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times },\,w\longmapsto w^{n},$

eine Überlagerung. Sei  ${}z\in {\mathbb {C} }^{\times }$  und  ${}w\in {\mathbb {C} }^{\times }$  ein Punkt mit  ${}w^{n}=z$.  Es sei  ${}w\in V\subseteq {\mathbb {C} }^{\times }$  eine offene Umgebung, die homöomorph auf  ${}U:=\varphi (V)$  abbildet. Eine solche Menge gibt es nach Fakt und wegen  ${}\varphi '(w)=nw^{n-1}\neq 0$.  Die Menge der ${}n$-ten komplexen Einheitswurzeln ist

${}E_{n}={\left\{\zeta \in {\mathbb {C} }\mid \zeta ^{n}=1\right\}}=\{e^{\frac {2\pi k{\mathrm {i} }}{n}}{|}\,k=0,\ldots ,n-1\}\,,$

siehe Fakt. Wir können ${}V$ verkleinern und dadurch erreichen, dass für alle ${}n$-ten Einheitswurzeln  ${}\zeta \neq 1$  die offenen Mengen ${}V$ und ${}\mu _{\zeta }(V)$ disjunkt sind. Dann ist

${}\varphi ^{-1}{\left(U\right)}\cong \biguplus _{\zeta \in E_{n}}\mu _{\zeta }(V)\cong U\times E_{n}\,.$