Punktierte komplexe Zahlen/Potenz/Überlagerung/Beispiel

Zu ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ ist

$\varphi \colon {\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times },\,w\longmapsto w^{n},$

eine Überlagerung. Sei ${}z\in {\mathbb {C} }^{\times }$ und ${}w\in {\mathbb {C} }^{\times }$ ein Punkt mit ${}w^{n}=z$. Es sei ${}w\in V\subseteq {\mathbb {C} }^{\times }$ eine offene Umgebung, die homöomorph auf ${}U:=\varphi (V)$ abbildet. Eine solche Menge gibt es nach Fakt und wegen ${}\varphi '(w)=nw^{n-1}\neq 0$. Die Menge der ${}n$-ten komplexen Einheitswurzeln ist

${}E_{n}={\left\{\zeta \in {\mathbb {C} }\mid \zeta ^{n}=1\right\}}=\{e^{\frac {2\pi k{\mathrm {i} }}{n}}{|}\,k=0,\ldots ,n-1\}\,,$

siehe Fakt. Wir können ${}V$ verkleinern und dadurch erreichen, dass für alle ${}n$-ten Einheitswurzeln ${}\zeta \neq 1$ die offenen Mengen ${}V$ und ${}\mu _{\zeta }(V)$ disjunkt sind. Dann ist

${}\varphi ^{-1}{\left(U\right)}\cong \biguplus _{\zeta \in E_{n}}\mu _{\zeta }(V)\cong U\times E_{n}\,.$