Punktierte komplexe Zahlen/Potenz/Überlagerung/Beispiel

Zu  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$  ist

$\phi :{ℂ}^{\times }⟶{ℂ}^{\times },w⟼w^n,$

eine Überlagerung. Sei  $z\in {ℂ}^{\times }$  und  $w\in {ℂ}^{\times }$  ein Punkt mit  $w^n=z$.  Es sei  $w\in V\subseteq {ℂ}^{\times }$  eine offene Umgebung, die homöomorph auf  $U:=\phi (V)$  abbildet. Eine solche Menge gibt es nach Fakt und wegen  ${\phi }^{\prime }(w)=n{w}^{n-1}\ne 0$.  Die Menge der $n$-ten komplexen Einheitswurzeln ist

$E_n=\{\zeta \in ℂ\mid {\zeta }^n=1\}=\{e^{\frac{2\pi k\mathrm{i}}{n}}\mid k=0,\dots ,n-1\},$

siehe Fakt. Wir können $V$ verkleinern und dadurch erreichen, dass für alle $n$-ten Einheitswurzeln  $\zeta \ne 1$  die offenen Mengen $V$ und ${\mu }_{\zeta }(V)$ disjunkt sind. Dann ist

${\phi }^{-1}\left(U\right)\cong \underset{\zeta \in E_n}{⨄}{\mu }_{\zeta }(V)\cong U\times E_n.$