Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 17/latex
\setcounter{section}{17}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Sei \maabbeledisp {\gamma} {[0,2\pi]} {\R^2 } {t} {( \cos t , \sin t ) } {,} gegeben. Berechne das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{} längs dieses Weges zu den folgenden \definitionsverweis {Differentialformen}{}{}
a)
\mathl{xdx +ydy}{,}
b)
\mathl{xdx -ydy}{,}
c)
\mathl{ydx +xdy}{,}
d)
\mathl{ydx -xdy}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b,c,d,r,s
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {natürliche Zahlen}{}{.}
Wir betrachten die
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Kurve}{}{}
\maabbeledisp {} {[0,1]} {\R^2
} {t} {(t^r,t^s)
} {.}
Berechne das
\definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
längs dieses Weges zur
\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ = }{ x^ay^b dx +x^c y^d dy
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {L} {und} {M} {}
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeiten}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {L} {M
} {}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ \in }{
{ \mathcal E }^{ 1 } ( M )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine messbare Differentialform mit der
\definitionsverweis {zurückgezogenen Differentialform}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi^*\omega
}
{ \in }{
{ \mathcal E }^{ 1 } ( L )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es sei
\maabbdisp {\gamma} {I} {L
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Kurve}{}{}
\zusatzklammer {$I$ ein
\definitionsverweis {reelles Intervall}{}{}} {} {.}
Zeige, dass für die
\definitionsverweis {Wegintegrale}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_\gamma \varphi^* \omega
}
{ =} { \int_{\varphi \circ \gamma} \omega
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ = }{ df
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {exakte Differentialform}{}{}
auf $M$ mit Werten in ${\mathbb K}$. Es sei
\maabb {\gamma} {[a,b]} { M
} {}
ein
\definitionsverweis {stetig differenzierbarer Weg}{}{}
in $M$. Zeige, dass
für das
\definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_\gamma \omega
}
{ =} { f(\gamma(b)) -f(\gamma(a))
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne $\int_\gamma { \frac{ dz }{ z } }$, wobei $\gamma$ der einfach gegen den Uhrzeigersinn durchlaufene Einheitskreis ist
\zusatzklammer {siehe
Beispiel *****} {} {,}
mit Stammformen zu ${ \frac{ dz }{ z } }$ auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ = }{ {\mathbb C} \setminus \R_{\leq 0}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ = }{ {\mathbb C} \setminus \R_{\geq 0}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{}
und $\omega$ eine
\definitionsverweis {differenzierbare}{}{}
$1$-\definitionsverweis {Form}{}{}
auf $M$. Zeige, dass $\omega$ genau dann
\definitionsverweis {exakt}{}{}
ist, wenn für jeden
\definitionsverweis {stetig differenzierbaren}{}{}
Weg
\maabbdisp {\gamma} {[a,b]} {M
} {}
das
\definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
\mathl{\int_\gamma \omega}{} nur von
\mathl{\gamma(a)}{} und
\mathl{\gamma(b)}{} abhängt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Der $\R^n$ sei mit dem
\definitionsverweis {Standardskalarprodukt}{}{}
versehen. Es sei
\maabb {F} {U} { \R^n
} {}
ein
\definitionsverweis {stetiges}{}{}
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
auf einer
\definitionsverweis {offenen Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir definieren zu dem Vektorfeld eine
\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
$\omega$ auf $U$ durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega(P,v)
}
{ \defeq} { \left\langle F(P) , v \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass zu einem
\definitionsverweis {stetig differenzierbarer Weg}{}{}
\maabb {\gamma} {I} { U
} {}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_\gamma \omega
}
{ =} { \int_\gamma F
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{} zur \definitionsverweis {holomorphen Differentialform}{}{} $z dz$ bezüglich des Weges \maabbeledisp {} {[0,1]} { {\mathbb C} } {t} { { \left( 3+ { \mathrm i} \right) } t } {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{} zur \definitionsverweis {holomorphen Differentialform}{}{} $z^2 dz$ auf ${\mathbb C}$ bezüglich des Weges \maabbeledisp {\gamma} {[-1 , 0]} { {\mathbb C} } {t} { 2 t^2- { \mathrm i} t } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{}
und $\omega$ eine
\definitionsverweis {geschlossene Differentialform}{}{}
auf $M$ mit Werten in ${\mathbb K}$. Zeige. dass die Zuordnung
\mathdisp {U \mapsto { \mathcal S } { \left( U \right) } \defeq { \left\{ f:U \rightarrow {\mathbb K} \text{ differenzierbar } \mid df = \omega{{|}}_U \right\} }} { }
eine
\definitionsverweis {Garbe}{}{}
auf $M$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {rationale Funktion}{}{}
\maabb {f} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {.}
Zeige, dass $f$ in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{{\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann eine Nullstelle der Ordnung $k$ besitzt, wenn $f^{-1}$ in $a$ einen Pol der Ordnung $k$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {rationale Funktion}{}{}
\maabb {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {,}
die an der Stelle
\mathl{2- { \mathrm i}}{} einen Pol der Ordnung $4$, in
\mathl{-3 +5 { \mathrm i}}{} eine Nullstelle der Ordnung $2$ und in $-3$ einen Pol der Ordnung $3$ besitzt.
}
{} {}