Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 17

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Aufgaben

Aufgabe

Sei

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zu den folgenden Differentialformen

a) ,

b) ,

c) ,

d) .


Aufgabe

Es seien natürliche Zahlen. Wir betrachten die stetig differenzierbare Kurve

Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zur Differentialform .


Aufgabe

Es seien und differenzierbare Mannigfaltigkeiten und

eine differenzierbare Abbildung. Es sei eine messbare Differentialform mit der zurückgezogenen Differentialform und es sei

eine stetig differenzierbare Kurve ( ein reelles Intervall). Zeige, dass für die Wegintegrale die Gleichheit


Aufgabe *

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und eine exakte Differentialform auf mit Werten in . Es sei ein stetig differenzierbarer Weg in . Zeige, dass für das Wegintegral die Beziehung

gilt.


Aufgabe *

Berechne , wobei der einfach gegen den Uhrzeigersinn durchlaufene Einheitskreis ist (siehe Beispiel *****), mit Stammformen zu auf und auf .


Aufgabe

Es sei eine zusammenhängende differenzierbare Mannigfaltigkeit und eine differenzierbare - Form auf . Zeige, dass genau dann exakt ist, wenn für jeden stetig differenzierbaren Weg

das Wegintegral nur von und abhängt.


Aufgabe

Der sei mit dem Standardskalarprodukt versehen. Es sei ein stetiges Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge . Wir definieren zu dem Vektorfeld eine Differentialform auf durch

Zeige, dass zu einem stetig differenzierbarer Weg die Gleichheit

gilt.


Aufgabe

Bestimme das Wegintegral zur holomorphen Differentialform bezüglich des Weges


Aufgabe *

Bestimme das Wegintegral zur holomorphen Differentialform auf bezüglich des Weges


Aufgabe

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und eine geschlossene Differentialform auf mit Werten in . Zeige. dass die Zuordnung

eine Garbe auf ist.


Aufgabe

Es sei eine rationale Funktion . Zeige, dass in genau dann eine Nullstelle der Ordnung besitzt, wenn in einen Pol der Ordnung besitzt.


Aufgabe

Bestimme eine rationale Funktion , die an der Stelle einen Pol der Ordnung , in eine Nullstelle der Ordnung und in einen Pol der Ordnung besitzt.



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