Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 19/latex
\setcounter{section}{19}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {meromorphe Funktion}{}{}
auf einer
\definitionsverweis {zusammenhängenden}{}{}
\definitionsverweis {riemannschen Fläche}{}{}
$X$. Zeige, dass $f$ genau dann
\definitionsverweis {holomorph}{}{}
ist, wenn der
\definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{}
$\operatorname{div} { \left( f \right) }$
\definitionsverweis {effektiv}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {meromorphe Funktion}{}{}
auf einer
\definitionsverweis {kompakten}{}{}
\definitionsverweis {zusammenhängenden}{}{}
\definitionsverweis {riemannschen Fläche}{}{}
$X$. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{div} { \left( f \right) }
}
{ =} { \sum_{i \in I} P_i - \sum_{i \in I} Q_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{}
zu $f$. Zeige, dass die Anzahl von $I$ gleich der
\definitionsverweis {Blätterzahl}{}{}
der nach
Satz 18.6
zu $f$ gehörenden holomorphen Abbildung
\maabbdisp {} {X } { {\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb C} }
} {}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ eine \definitionsverweis {zusammenhängende}{}{} \definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{} mit dem Körper ${ \mathcal M } { \left( X \right) }$ der \definitionsverweis {meromorphen Funktionen}{}{.} Zeige, dass die Zuordnung \maabbeledisp {} { { \mathcal M } { \left( X \right) }^{\times} } { \operatorname{Div}\, (X) } {f} { \operatorname{div} { \left( f \right) } } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wann sind die \definitionsverweis {Divisorengruppen}{}{} \mathkor {} {\operatorname{Div} { \left( X \right) }} {und} {\operatorname{Div} { \left( Y \right) }} {} zu zwei \definitionsverweis {riemannschen Flächen}{}{} \mathkor {} {X} {und} {Y} {} \definitionsverweis {isomorph}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{.}
Zeige, dass durch die Zuordnung
\mathdisp {U \longmapsto \operatorname{Div} { \left( U \right) }} { }
eine
\definitionsverweis {Garbe von kommutativen Gruppen}{}{}
auf $X$ gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei ${ \mathcal Div }_X$ die
\definitionsverweis {Garbe der Divisoren}{}{}
auf einer
\definitionsverweis {riemannschen Fläche}{}{}
$X$. Zeige die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungzwei {${ \mathcal Div }_X$ ist im Allgemeinen nicht
\definitionsverweis {welk}{}{.}
} {Für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und jede offene Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Abbildung
\maabbdisp {} { \Gamma { \left( U, { \mathcal Div }_X \right) } } { { \mathcal Div }_{X,P}
} {}
surjektiv.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{.}
Zeige, dass eine kurze exakte Garbensequenz
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, {\mathcal O}_{ X } ^{\times} \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, { \mathcal M }_X ^{\times} \, \stackrel{ \operatorname{div} { \left( - \right) } }{\longrightarrow} \, { \mathcal Div }_X \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
vorliegt, wobei in der Mitte die Garbe der
\definitionsverweis {meromorphen Funktionen}{}{}
$\neq 0$ und rechts die Garbe der
\definitionsverweis {Divisoren}{}{}
steht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass auf einer
\definitionsverweis {zusammenhängenden}{}{}
\definitionsverweis {kompakten}{}{}
\definitionsverweis {riemannschen Fläche}{}{}
der
\definitionsverweis {exakte Komplex}{}{}
\mathdisp {1 \longrightarrow {\mathbb C} ^{\times} \longrightarrow { \mathcal M } { \left( X \right) } ^{\times} \longrightarrow \operatorname{Div} { \left( X \right) } \longrightarrow \operatorname{DKG} { \left( X \right) } \longrightarrow 0} { }
vorliegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass zu einer nichtkonstanten \definitionsverweis {holomorphen Abbildung}{}{} \maabb {\varphi} {X} {Y } {} zwischen \definitionsverweis {zusammenhängenden}{}{} \definitionsverweis {riemannschen Flächen}{}{} \mathkor {} {X} {und} {Y} {} der \definitionsverweis {Rückzug von Divisoren}{}{} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\maabb {\varphi} {X} {Y
} {}
und
\maabb {\psi} {Y} {Z
} {}
nichtkonstante
\definitionsverweis {holomorphe Abbildungen}{}{}
zwischen
\definitionsverweis {zusammenhängenden}{}{}
\definitionsverweis {riemannschen Flächen}{}{}
\mathkor {} {X,Y} {und} {Z} {.}
Zeige, dass für den
\definitionsverweis {Rückzug von Divisoren}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( \psi \circ \varphi)^* D
}
{ =} { \varphi^*( \psi^*D)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass auf einer \definitionsverweis {kompakten}{}{} \definitionsverweis {riemannschen Fläche}{}{} $X$ der \definitionsverweis {Grad}{}{} einen \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} { \operatorname{Div} { \left( X \right) } } { \Z } {} definiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {kompakte}{}{}
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{.}
Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungvier{$X$ ist
\definitionsverweis {biholomorph}{}{}
zur
\definitionsverweis {projektiven Geraden}{}{.}
}{Die
\definitionsverweis {Divisorenklassengruppe}{}{}
vom Grad $0$ ist trivial.
}{Je zwei Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \neq }{ Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind zueinander
\definitionsverweis {linear äquivalent}{}{}
}{Es gibt zwei Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \neq }{ Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die zueinander linear äquivalent sind.
}
}
{} {}