Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 19

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Aufgaben

Aufgabe

Es sei eine meromorphe Funktion auf einer zusammenhängenden riemannschen Fläche . Zeige, dass genau dann holomorph ist, wenn der Hauptdivisor effektiv ist.


Aufgabe

Es sei eine meromorphe Funktion auf einer kompakten zusammenhängenden riemannschen Fläche . Es sei

der Hauptdivisor zu . Zeige, dass die Anzahl von gleich der Blätterzahl der nach Satz 18.6 zu gehörenden holomorphen Abbildung

ist.


Aufgabe

Es sei eine zusammenhängende riemannsche Fläche mit dem Körper der meromorphen Funktionen. Zeige, dass die Zuordnung

ein Gruppenhomomorphismus ist.


Aufgabe

Wann sind die Divisorengruppen und zu zwei riemannschen Flächen und isomorph?


Aufgabe

Es sei eine riemannsche Fläche. Zeige, dass durch die Zuordnung

eine Garbe von kommutativen Gruppen auf gegeben ist.


Aufgabe

Es sei die Garbe der Divisoren auf einer riemannschen Fläche . Zeige die folgenden Aussagen.

  1. ist im Allgemeinen nicht welk.
  2. Für jeden Punkt und jede offene Umgebung ist die Abbildung

    surjektiv.


Aufgabe

Es sei eine zusammenhängende riemannsche Fläche. Zeige, dass eine kurze exakte Garbensequenz

vorliegt, wobei in der Mitte die Garbe der meromorphen Funktionen und rechts die Garbe der Divisoren steht.


Aufgabe

Zeige, dass auf einer zusammenhängenden kompakten riemannschen Fläche der exakte Komplex

vorliegt.


Aufgabe

Zeige, dass zu einer nichtkonstanten holomorphen Abbildung zwischen zusammenhängenden riemannschen Flächen und der Rückzug von Divisoren ein Gruppenhomomorphismus ist.


Aufgabe

Es seien und nichtkonstante holomorphe Abbildungen zwischen zusammenhängenden riemannschen Flächen und . Zeige, dass für den Rückzug von Divisoren die Beziehung

gilt.


Aufgabe

Zeige, dass auf einer kompakten riemannschen Fläche der Grad einen Gruppenhomomorphismus

definiert.


Aufgabe

Es sei eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. ist biholomorph zur projektiven Geraden.
  2. Die Divisorenklassengruppe vom Grad ist trivial.
  3. Je zwei Punkte sind zueinander linear äquivalent
  4. Es gibt zwei Punkte , die zueinander linear äquivalent sind.



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