Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 2/latex
\setcounter{section}{2}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den lokalen Exponenten im Sinne von
Satz 2.1
der Funktion
\maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} {z} {z^k
} {,}
in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {lokalen Exponenten}{}{}
eines Polynoms $f$, dessen Ableitung durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(z)
}
{ =} { { \left( z-a_1 \right) }^{r_1} \cdots { \left( z-a_m \right) }^{r_m}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {mit verschiedenen $a_i$} {} {}
gegeben ist, in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den lokalen Exponenten im Sinne von
Satz 2.1
der
\definitionsverweis {komplexen Exponentialfunktion}{}{}
\maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} {z} { \exp z
} {,}
in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den lokalen Exponenten im Sinne von
Satz 2.1
der
\definitionsverweis {komplexen Sinusfunktion}{}{}
\maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} {z} { \sin z
} {,}
in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und
\maabb {f} {U} { {\mathbb C}
} {}
eine nichtkonstante
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{.}
Zeige, dass die Menge der Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
für die der
\definitionsverweis {lokale Exponent}{}{}
$\geq 2$ ist,
\definitionsverweis {diskret}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass jede
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {komplexe Mannigfaltigkeit}{}{}
mit der Identität als einziger Karte ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass jede
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einer
\definitionsverweis {komplexen Mannigfaltigkeit}{}{}
eine komplexe Mannigfaltigkeit ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte Geschenkpapier. Auf welche Arten kann man das Papier zerschneiden und/oder verkleben, so, dass eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit entsteht. Sollte der Rand des Papiers dazu gehören oder nicht? Welche entstehenden Mannigfaltigkeiten sind zusammenhängend, welche kompakt? Wie entsteht ein Möbius-Band? Welche Möglichkeiten gibt es, wenn man endlich viele Ausnahmepunkte erlaubt, in denen keine Mannigfaltigkeitsstruktur vorliegt?
Wende die Theorie an, um möglichst originelle Verpackungen zu konstruieren. Verschnüre diese mit geeigneten eindimensionalen Mannigfaltigkeiten.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine \definitionsverweis {zusammenhängende}{}{} \definitionsverweis {reelle Mannigfaltigkeit}{}{} der Dimension $2$ und sei weiter vorausgesetzt, dass $M$ einen \definitionsverweis {abzählbaren}{}{} \definitionsverweis {Atlas}{}{} besitzt. Zeige, dass es eine \definitionsverweis {surjektive}{}{} \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\R^2} { M } {} gibt.
}
{\zusatzklammer {Das ist eher eine Aufgabe zur Entwicklung der Vorstellung, man denke an ein Klebeband, mit dem man einerseits die Fläche abklebt und andererseits die reelle Ebene durchläuft. Bei einer riemannschen Fläche $X$ gibt es im Allgemeinen keine holomorphe surjektive Abbildung
\maabb {} { {\mathbb C} } {X
} {}} {} {.}} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten den topologischen Raum, der entsteht, wenn man zweimal ${\mathbb C}$ nimmt und die beiden ${\mathbb C} \setminus \{0\}$ miteinander in natürlicher Weise identifiziert \zusatzklammer {verklebt} {} {.} Zeige, dass das entstehende Objekt kein \definitionsverweis {Hausdorff-Raum}{}{} ist und somit auch keine \definitionsverweis {komplexe Mannigfaltigkeit}{}{,} obwohl es zwei Karten mit dem Kartenbild ${\mathbb C}$ gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Wurzelfläche zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(z)
}
{ = }{ z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im Sinne von
Korollar 2.8
in natürlicher Bijektion mit ${\mathbb C}$ selbst steht, wobei der Projektion die Quadratabbildung entspricht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(z)
}
{ = }{ z^3+az+b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {mit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ a,b
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
ein kubisches Polynom ohne mehrfache Nullstelle und sei $V$ die zugehörige Wurzelfläche im Sinne von
Korollar 2.8.
Versuche, $V$
\zusatzklammer {bzw. reelle Ausschnitte davon} {} {}
für geeignete Parameter $a,b$ zu skizzieren.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine endliche Teilmenge. Zeige, dass $X$ genau dann
\definitionsverweis {zusammenhängend}{}{}
ist, wenn $X \setminus D$ zusammenhängend ist.
}
{} {}
Die folgende Aufgabe ist für Leute gedacht, die eine algebraische Zahlentheorie gehört haben.
\inputaufgabe
{}
{
Vergleiche die zu einem Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ {\mathbb C} [Z]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zugehörige Wurzelfläche
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ = }{ { \left\{ (z,w) \in {\mathbb C}^2 \mid w^2 = f(z) \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{}
über ${\mathbb C}$ im Sinne von
Korollar 2.8
mit der
\definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{}
\maabb {} { \operatorname{Spek} { \left( A_D \right) } } { \operatorname{Spek} { \left( \Z \right) }
} {}
zu einem
\definitionsverweis {quadratischen Zahlbereich}{}{}
$A_D$ zu einer
\definitionsverweis {quadratfreien Zahl}{}{}
$D$.
}
{} {}