Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 25/latex
\setcounter{section}{25}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ \in }{ \R[Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
und
\maabbeledisp {g} { \R_+} {\R
} {x} { g(x) = p { \left( \frac{1}{x} \right) } e^{- \frac{1}{x} }
} {.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
$g'(x)$ ebenfalls von der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g'(x)
}
{ =} {q { \left( \frac{1}{x} \right) } e^{- \frac{1}{x} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem weiteren Polynom $q$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbeledisp {f} {\R_+} {\R
} {x} {f(x) = e^{- \frac{1}{x} }
} {.}
Zeige, dass für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die $n$-te
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
\mathl{f^{(n)}}{} die Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ x \in \R_+ , \, x \rightarrow 0 } \, f^{(n)}(x)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{.} Bestimme zur Überdeckung von $X$ durch $X$ eine \definitionsverweis {untergeordnete Partition der Eins}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe zur
\definitionsverweis {offenen Überdeckung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \R
}
{ =} { \bigcup_{n \in \Z} ]n,n+3[
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine untergeordnete stetige
\definitionsverweis {Partition der Eins}{}{}
an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X
}
{ = }{ \bigcup_{i \in I} U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{.}
Wir betrachten die Familie der
\definitionsverweis {Indikatorfunktionen}{}{}
\mathbeddisp {e_{ P }} {}
{P \in X} {}
{} {} {} {.}
Welche Eigenschaften einer
\zusatzklammer {dieser Überdeckung} {} {}
\definitionsverweis {untergeordneten Partition der Eins}{}{}
erfüllt diese Familie?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {reelles Intervall}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ = }{U \cup V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Überdeckung mit
\zusatzklammer {in $I$} {} {}
offenen Intervallen. Zeige, dass man eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
\maabbdisp {f} {U \cap V} { \R
} {}
als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} { g {{|}}_{U \cap V } - h {{|}}_{U \cap V }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit stetigen Funktionen
\maabb {g} {U} { \R
} {}
und
\maabb {g} {V} { \R
} {}
schreiben kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine reelle
$C^\infty$-\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {abzählbaren Basis der Topologie}{}{.}
Es sei ${ \mathcal E }^{(1)}$ die
\definitionsverweis {Garbe}{}{}
der
$C^\infty$-\definitionsverweis {differenzierbaren}{}{}
\zusatzklammer {reell- oder komplexwertigen} {} {}
$1$-\definitionsverweis {Differentialformen}{}{}
auf $M$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H^1 (M, { \mathcal E }^{(1)} )
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass für die
\definitionsverweis {Garbe}{}{}
der lokal konstanten ${\mathbb C}$-wertigen Funktionen auf einer
\definitionsverweis {riemannschen Fläche}{}{}
$X$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H^2(X, {\mathbb C} )
}
{ =} { H^2_{dR} (X)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man entwickle die lange exakte Kohomologiesequenz zur exakten Garbensequenz
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, \Omega_X \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, { \mathcal E }^{(1,0)} \, \stackrel{ d }{\longrightarrow} \, { \mathcal E }^{(2)} \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
aus
Satz 16.15
auf einer
\definitionsverweis {riemannschen Fläche}{}{}
$X$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt auf einer
\definitionsverweis {zusammenhängenden}{}{}
\definitionsverweis {riemannschen Fläche}{}{}
$X$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass man die zum
\definitionsverweis {Divisor}{}{}
$nP$ zugehörige Kohomologieklasse in
\mathl{H^1(X, {\mathcal O}_{ X }^\times )}{} durch die offene Überdeckung mit einem Kartengebiet $U_1$ um $P$ mit der Variablen $z$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_2
}
{ = }{ X \setminus \{P\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und der holomorphen Einheit $z^n$ auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U_1 \cap U_2
}
{ =} { U_1 \setminus \{P\}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
realisieren kann.
}
{} {}