Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 25

Aufgaben

Aufgabe

Es sei ${}p\in \mathbb {R} [Y]$ ein Polynom und

$g\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto g(x)=p{\left({\frac {1}{x}}\right)}e^{-{\frac {1}{x}}}.$

Zeige, dass die Ableitung ${}g'(x)$ ebenfalls von der Form

${}g'(x)=q{\left({\frac {1}{x}}\right)}e^{-{\frac {1}{x}}}\,$

mit einem weiteren Polynom ${}q$ ist.

Aufgabe

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=e^{-{\frac {1}{x}}}.$

Zeige, dass für jedes ${}n\in \mathbb {N}$ die ${}n$-te Ableitung ${}f^{(n)}$ die Eigenschaft

${}\operatorname {lim} _{x\in \mathbb {R} _{+},\,x\rightarrow 0}\,f^{(n)}(x)=0\,$

besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Bestimme zur Überdeckung von ${}X$ durch ${}X$ eine untergeordnete Partition der Eins.

Aufgabe

Man gebe zur offenen Überdeckung

${}\mathbb {R} =\bigcup _{n\in \mathbb {Z} }]n,n+3[\,$

eine untergeordnete stetige Partition der Eins an.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung. Wir betrachten die Familie der Indikatorfunktionen

$e_{P},P\in X.$

Welche Eigenschaften einer (dieser Überdeckung) untergeordneten Partition der Eins erfüllt diese Familie?

Aufgabe *

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall und ${}I=U\cup V$ eine Überdeckung mit (in ${}I$) offenen Intervallen. Zeige, dass man eine stetige Funktion

$f\colon U\cap V\longrightarrow \mathbb {R}$

als

${}f=g{|}_{U\cap V}-h{|}_{U\cap V}\,$

mit stetigen Funktionen ${}g\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ und ${}g\colon V\rightarrow \mathbb {R}$ schreiben kann.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine reelle ${}C^{\infty }$- differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie. Es sei ${}{\mathcal {E}}^{(1)}$ die Garbe der ${}C^{\infty }$- differenzierbaren (reell- oder komplexwertigen) ${}1$- Differentialformen auf ${}M$. Zeige

${}H^{1}(M,{\mathcal {E}}^{(1)})=0\,.$

Aufgabe

Zeige, dass für die Garbe der lokal konstanten ${}{\mathbb {C} }$-wertigen Funktionen auf einer riemannschen Fläche ${}X$ die Beziehung

${}H^{2}(X,{\mathbb {C} })=H_{dR}^{2}(X)\,$

gilt.

Aufgabe

Man entwickle die lange exakte Kohomologiesequenz zur exakten Garbensequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\Omega _{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {E}}^{(1,0)}\,{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {E}}^{(2)}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

aus Satz 16.15 auf einer riemannschen Fläche ${}X$.

Aufgabe

Es sei ${}P\in X$ ein Punkt auf einer zusammenhängenden riemannschen Fläche ${}X$ und ${}n\in \mathbb {Z}$. Zeige, dass man die zum Divisor ${}nP$ zugehörige Kohomologieklasse in ${}H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })$ durch die offene Überdeckung mit einem Kartengebiet ${}U_{1}$ um ${}P$ mit der Variablen ${}z$ und ${}U_{2}=X\setminus \{P\}$ und der holomorphen Einheit ${}z^{n}$ auf

${}U_{1}\cap U_{2}=U_{1}\setminus \{P\}\,$

realisieren kann.