Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 32/latex
\setcounter{section}{32}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
Zur folgenden Aufgabe vergleiche Aufgabe 20.19.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {glatte}{}{}
\definitionsverweis {irreduzible}{}{}
\definitionsverweis {projektive Kurve}{}{}
über ${\mathbb C}$ und sei $X_{\operatorname{an} }$ die zugehörige
\definitionsverweis {kompakte}{}{}
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{.}
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_1 , \ldots , P_n
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Punkte und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ = }{ X \setminus \{ P_1 , \ldots , P_n \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Charakterisiere den algebraischen Schnittring
\mathdisp {\Gamma { \left( X_\operatorname{alg} , {\mathcal O}_{ X_\operatorname{alg} } \right) }} { }
in $X_\operatorname{an}$, also allein durch analytische Konzepte.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {glatte}{}{}
\definitionsverweis {irreduzible}{}{}
\definitionsverweis {projektive Kurve}{}{}
über ${\mathbb C}$ und sei $X_{\operatorname{an} }$ die zugehörige
\definitionsverweis {kompakte}{}{}
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt. Charakterisiere den algebraischen Halm
\mathl{{\mathcal O}_{ X_{\operatorname{alg} }, P }}{} in $X_\operatorname{an}$, also allein durch analytische Konzepte. Man erläutere ferner, dass eine solche Charakterisierung allein innerhalb des analytischen Halmes
\mathl{{\mathcal O}_{ X_{\operatorname{an} }, P }}{} nicht möglich ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{C
}
{ = }{ V(F)
}
{ \subset }{ {\mathbb A}^{2}_{K}
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein glatter Punkt einer ebenen irreduziblen Kurve. Zeige, dass der zugehörige lokale Ring ein diskreter Bewertungsring ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ ( \pi)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{R/ (\pi)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{}
von $R$. Zeige, dass es für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einen
$R$-\definitionsverweis {Modulisomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} { (\pi^ n)/( \pi^ {n+1} )} { K
} {}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ eine
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Algebra}{}{,}
die ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{}
ist, deren
\definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{}
gleich ${\mathbb C}$ ist. Es sei $\pi$ eine Ortsuniformisierende. Zeige die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungdrei{Jedes Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kann man als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ r
}
{ =} { \pi s + r_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r_0
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben.
}{Zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt jedes Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ r
}
{ =} { s_n \pi^n + r_{n-1} \pi^{n-1} + \cdots + r_2 \pi^2 + r_1 \pi + r_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r_j
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_n
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Der
\definitionsverweis {Restklassenmodul}{}{}
$Q(R)/R$ ist isomorph zum
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Basis}{}{}
$\pi^{-1}, \pi^{-2} , \dots$.
}
}
{} {}