Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 32

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Aufgaben

Zur folgenden Aufgabe vergleiche Aufgabe 20.19.

Aufgabe

Es sei eine glatte irreduzible projektive Kurve über und sei die zugehörige kompakte riemannsche Fläche. Es seien Punkte und . Charakterisiere den algebraischen Schnittring

in , also allein durch analytische Konzepte.


Aufgabe

Es sei eine glatte irreduzible projektive Kurve über und sei die zugehörige kompakte riemannsche Fläche und sei ein Punkt. Charakterisiere den algebraischen Halm in , also allein durch analytische Konzepte. Man erläutere ferner, dass eine solche Charakterisierung allein innerhalb des analytischen Halmes nicht möglich ist.


Aufgabe *

Es sei ein glatter Punkt einer ebenen irreduziblen Kurve. Zeige, dass der zugehörige lokale Ring ein diskreter Bewertungsring ist.


Aufgabe

Es sei ein diskreter Bewertungsring und sei . Es sei der Restklassenkörper von . Zeige, dass es für jedes einen - Modulisomorphismus

gibt.


Aufgabe *

Es sei eine - Algebra, die ein diskreter Bewertungsring ist, deren Restklassenkörper gleich ist. Es sei eine Ortsuniformisierende. Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Jedes Element kann man als

    mit schreiben.

  2. Zu jedem besitzt jedes Element eine Darstellung

    mit und .

  3. Der Restklassenmodul ist isomorph zum - Vektorraum mit der Basis .



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