Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 32
- Aufgaben
Zur folgenden Aufgabe vergleiche Aufgabe 20.19.
Es sei eine glatte irreduzible projektive Kurve über und sei die zugehörige kompakte riemannsche Fläche. Es seien Punkte und . Charakterisiere den algebraischen Schnittring
in , also allein durch analytische Konzepte.
Es sei eine glatte irreduzible projektive Kurve über und sei die zugehörige kompakte riemannsche Fläche und sei ein Punkt. Charakterisiere den algebraischen Halm in , also allein durch analytische Konzepte. Man erläutere ferner, dass eine solche Charakterisierung allein innerhalb des analytischen Halmes nicht möglich ist.
Es sei ein glatter Punkt einer ebenen irreduziblen Kurve. Zeige, dass der zugehörige lokale Ring ein diskreter Bewertungsring ist.
Es sei ein diskreter Bewertungsring und sei . Es sei der Restklassenkörper von . Zeige, dass es für jedes einen - Modulisomorphismus
gibt.
Es sei eine - Algebra, die ein diskreter Bewertungsring ist, deren Restklassenkörper gleich ist. Es sei eine Ortsuniformisierende. Zeige die folgenden Aussagen.
- Jedes Element
kann man als
mit schreiben.
- Zu jedem
besitzt jedes Element
eine Darstellung
mit und .
- Der Restklassenmodul ist isomorph zum - Vektorraum mit der Basis .
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