Riemannsche Fläche/Divisor/Invertierbare Garbe/Vereinigung/Ringstruktur/Aufgabe

Es sei ${}X$ eine zusammenhängende riemannsche Fläche und ${}D$ ein Divisor auf ${}D$. Zu ${}n\in \mathbb {N}$ betrachten wir die invertierbaren Garben ${}{\mathcal {O}}_{X}(nD)$ (als Untergarben der Garbe der meromorphen Funktionen). Zeige die folgenden Aussagen.

1. Mit ${}f\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nD)\right)}$ und ${}g\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(mD)\right)}$ ist ${}fg\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}((n+m)D)\right)}$.
2. Die Vereinigung ${}R_{D}:=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nD)\right)}$ ist ein Unterring von ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}$.
3. Es sei ${}D$ ein effektiver Divisor auf ${}X$ mit den Trägerpunkten ${}P_{1},\ldots ,P_{k}$. Dann ist

   ${}R_{D}=\Gamma {\left(X\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{k}\},{\mathcal {O}}_{X}\right)}\cap \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}\,.$

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