Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 4/latex
\setcounter{section}{4}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ = }{ {]{-1},1[}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir betrachten die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { { \left\{ f:I \rightarrow \R^n \mid f \text{ differenzierbar} , \, f(0) = P \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir nennen zwei
\definitionsverweis {Kurven}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f,g
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\stichwort {tangential äquivalent} {,} wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(0)
}
{ =} { g'(0)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
a) Zeige, dass dies eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist.
b) Finde den einfachsten Vertreter für die \definitionsverweis {Äquivalenzklassen}{}{.}
c) Man gebe für jede Klasse einen weiteren Vertreter an.
d) Beschreibe die Menge der Äquivalenzklassen \zusatzklammer {also die \definitionsverweis {Quotientenmenge}{}{}} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass man jeden
\definitionsverweis {Tangentialvektor}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ T_PS^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einem Punkt $P$ auf der
\definitionsverweis {Einheitssphäre}{}{}
durch einen \anfuehrung{uniformen}{}
\definitionsverweis {differenzierbaren Weg}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {Großkreis}{}{}
realisieren kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} und
\mathl{P \in M}{.} Zeige, dass für eine
\definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{}
\maabbdisp {\gamma} {I} {M
} {}
mit
\mathl{\gamma(0)=P}{} und
\mathl{a \in \R}{} im
\definitionsverweis {Tangentialraum}{}{}
\mathl{T_PM}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a [\gamma]
}
{ =} { [ \lambda]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{} gilt, wobei $\lambda$ durch
\mathl{\lambda(t):= \gamma(at)}{} definiert sei.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass auf einer
\definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeit}{}{} die Addition von Wegen
\maabbdisp {\gamma_1, \gamma_2} {I} {M
} {}
mit
\mathl{\gamma_1(0) =\gamma_2(0)=P \in M}{,} die man durch eine Karte
\maabbdisp {\alpha} {U} {V
} {}
mit
\mathl{\alpha(P)=0}{} aus der Addition im $\R^n$ erhalten kann, im Allgemeinen von der gewählten Karte abhängt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
\maabb {\varphi} {G} {\R^m
} {}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{}
und $M$ die
\definitionsverweis {Faser}{}{}
über
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ \in }{ \R^m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei vorausgesetzt, dass das
\definitionsverweis {totale Differential}{}{}
in jedem Punkt dieser Faser
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
sei. Zeige, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Tangentialraum}{}{}
im Sinne von
Definition 53.7 mit dem
\definitionsverweis {Tangentialraum}{}{}
der
\definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeit}{}{}
$M$ im Punkt $P$ übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {holomorphe Kurve}{}{}
\maabbeledisp {\gamma} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}^2
} {t} { \left( \exp t , \, \sin t \right)
} {,}
im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bestimme eine affin-lineare Kurve
\maabbdisp {\delta} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}^2
} {,}
die im Punkt $\gamma(0)$
\definitionsverweis {tangential äquivalent}{}{}
zu $\gamma$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über den
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{}
${\mathbb C}$ und sei
\maabbdisp {\varphi} {V } {V
} {}
eine
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}
Wir betrachten $V$ auch als reellen Vektorraum der doppelten Dimension, worauf $\varphi$ auch eine reell-lineare Abbildung ist, die wir zur Unterscheidung mit $\psi$ bezeichnen. Zeige, dass zwischen der komplexen Determinante und der reellen Determinante die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \det \varphi }^2
}
{ =} { \det \psi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besteht.
}
{} {}