Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 4
- Aufgaben
Es sei ein Punkt und sei . Wir betrachten die Menge
Wir nennen zwei Kurven tangential äquivalent, wenn
ist.
a) Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.
b) Finde den einfachsten Vertreter für die Äquivalenzklassen.
c) Man gebe für jede Klasse einen weiteren Vertreter an.
d) Beschreibe die Menge der Äquivalenzklassen (also die Quotientenmenge).
Zeige, dass man jeden Tangentialvektor in einem Punkt auf der Einheitssphäre durch einen „uniformen“ differenzierbaren Weg auf einem Großkreis realisieren kann.
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und . Zeige, dass für eine differenzierbare Kurve
mit und im Tangentialraum die Beziehung
Zeige, dass auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit die Addition von Wegen
mit , die man durch eine Karte
mit aus der Addition im erhalten kann, im Allgemeinen von der gewählten Karte abhängt.
Es sei offen, eine differenzierbare Abbildung und die Faser über . Es sei vorausgesetzt, dass das totale Differential in jedem Punkt dieser Faser surjektiv sei. Zeige, dass für der Tangentialraum im Sinne von Definition 53.7 mit dem Tangentialraum der differenzierbaren Mannigfaltigkeit im Punkt übereinstimmt.
Wir betrachten die holomorphe Kurve
im Punkt . Bestimme eine affin-lineare Kurve
die im Punkt tangential äquivalent zu ist.
Es sei ein endlichdimensionaler Vektorraum über den komplexen Zahlen und sei
eine - lineare Abbildung. Wir betrachten auch als reellen Vektorraum der doppelten Dimension, worauf auch eine reell-lineare Abbildung ist, die wir zur Unterscheidung mit bezeichnen. Zeige, dass zwischen der komplexen Determinante und der reellen Determinante die Beziehung
besteht.
<< | Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022) | >> |
---|