Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 4

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Aufgaben

Aufgabe

Es sei ein Punkt und sei . Wir betrachten die Menge

Wir nennen zwei Kurven tangential äquivalent, wenn

ist.

a) Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.

b) Finde den einfachsten Vertreter für die Äquivalenzklassen.

c) Man gebe für jede Klasse einen weiteren Vertreter an.

d) Beschreibe die Menge der Äquivalenzklassen (also die Quotientenmenge).


Aufgabe

Zeige, dass man jeden Tangentialvektor in einem Punkt auf der Einheitssphäre durch einen „uniformen“ differenzierbaren Weg auf einem Großkreis realisieren kann.


Aufgabe

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und . Zeige, dass für eine differenzierbare Kurve

mit und im Tangentialraum die Beziehung

gilt, wobei durch definiert sei.


Aufgabe

Zeige, dass auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit die Addition von Wegen

mit , die man durch eine Karte

mit aus der Addition im erhalten kann, im Allgemeinen von der gewählten Karte abhängt.


Aufgabe

Es sei offen, eine differenzierbare Abbildung und die Faser über . Es sei vorausgesetzt, dass das totale Differential in jedem Punkt dieser Faser surjektiv sei. Zeige, dass für der Tangentialraum im Sinne von Definition 53.7 mit dem Tangentialraum der differenzierbaren Mannigfaltigkeit im Punkt übereinstimmt.


Aufgabe *

Wir betrachten die holomorphe Kurve

im Punkt . Bestimme eine affin-lineare Kurve

die im Punkt tangential äquivalent zu ist.


Aufgabe

Es sei ein endlichdimensionaler Vektorraum über den komplexen Zahlen und sei

eine - lineare Abbildung. Wir betrachten auch als reellen Vektorraum der doppelten Dimension, worauf auch eine reell-lineare Abbildung ist, die wir zur Unterscheidung mit bezeichnen. Zeige, dass zwischen der komplexen Determinante und der reellen Determinante die Beziehung

besteht.



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