Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Definitionsabfrage
Eine auf einer offenen Menge definierte Funktion
heißt holomorph, wenn sie komplex differenzierbar ist.
Ein topologischer Hausdorff-Raum zusammen mit einer offenen Überdeckung und Homöomorphismen
mit derart, dass die Übergangsabbildungen
Diffeomorphismen sind, heißt komplexe Mannigfaltigkeit der Dimension . Die Menge der Karten , , nennt man auch den Atlas der Mannigfaltigkeit.
Eine riemannsche Fläche ist eine komplexe Mannigfaltigkeit der (komplexen) Dimension .
Eine Funktion auf einer riemannschen Fläche heißt holomorph, wenn es eine offene Überdeckung
mit Karten
derart gibt, dass
holomorph sind.
Zu einer riemannschen Fläche bezeichnet man den Ring der holomorphen Funktionen auf mit
und spricht von der (globalen Auswertung der) Strukturgarbe auf .
Es seien und riemannsche Flächen und sei
eine stetige Abbildung. Man nennt holomorph, wenn für jede offene Teilmenge und jede holomorphe Funktion die zusammengesetzte Funktion holomorph ist.
Zwei riemannsche Flächen und heißen biholomorph, wenn es holomorphe Abbildungen und gibt mit und .
Es sei eine komplexe Mannigfaltigkeit und ein Punkt. Es seien
und
zwei auf offenen Bällen definierte holomorphe Kurven mit . Dann heißen und tangential äquivalent in , wenn es eine offene Umgebung und eine Karte
mit derart gibt, dass
gilt.
Es sei eine komplexe Mannigfaltigkeit und ein Punkt. Unter einem Tangentialvektor an versteht man eine Äquivalenzklasse von tangential äquivalenten holomorphen Kurven durch . Die Menge dieser Tangentialvektoren wird mit
bezeichnet.
Es sei eine komplexe Mannigfaltigkeit und ein Punkt. Unter dem Tangentialraum an , geschrieben , versteht man die Menge der Tangentialvektoren an versehen mit der durch eine beliebige Karte gegebenen komplexen Vektorraumstruktur.
Es sei eine komplexe Mannigfaltigkeit der Dimension und
das Tangentialbündel, versehen mit der Projektionsabbildung
Das Tangentialbündel wird mit derjenigen Topologie versehen, bei der eine Teilmenge genau dann offen ist, wenn für jede Karte
die Menge offen in ist.
Es seien und komplexe Mannigfaltigkeiten und es sei
eine holomorphe Abbildung. Es sei und . Dann nennt man die Abbildung
die zugehörige Tangentialabbildung im Punkt . Sie wird mit bezeichnet.
Es sei ein Körper. Der projektive -dimensionale Raum besteht aus allen Geraden des durch den Nullpunkt, wobei diese Geraden als Punkte aufgefasst werden. Ein solcher Punkt wird repräsentiert durch homogene Koordinaten , wobei nicht alle sein dürfen, und wobei zwei solche Koordinatentupel genau dann den gleichen Punkt repräsentieren, wenn sie durch Multiplikation mit einem Skalar ineinander übergehen.
Der komplex-projektive Raum wird mit der Quotiententopologie zur Kegelabbildung
versehen.
Es sei ein Körper. Zu einem homogenen Polynom bezeichnet man die Menge
als die projektive Nullstellenmenge zu .
Es seien und topologische Räume. Eine stetige Abbildung
heißt Überlagerung, wenn es eine offene Überdeckung und eine Familie diskreter topologischer Räume , , derart gibt, dass homöomorph zu (versehen mit der Produkttopologie) ist, wobei die Homöomorphien mit den Abbildungen nach verträglich sind.
Eine stetige Abbildung
zwischen topologischen Räumen und heißt lokaler Homöomorphismus, wenn es zu jedem Punkt eine offene Umgebung derart gibt, dass offen in ist und dass die Einschränkung
ein Homöomorphismus ist.
Es seien und topologische Räume. Zu einer stetigen Abbildung und einem stetigen Weg
nennt man einen stetigen Weg
mit
eine Liftung von .
Es sei eine Überlagerung von . Ein Homöomorphismus mit heißt Decktransformation der Überlagerung.
Eine Überlagerung
heißt normal, wenn es zu jedem Punkt und jedem Punktepaar eine Decktransformation
mit gibt.
Eine Überlagerung heißt endlich, wenn jede Faser eine endliche Menge ist.
Unter einem Gitter in den komplexen Zahlen versteht man ein vollständiges Gitter .
Eine topologische Gruppe ist eine Gruppe , die zugleich ein topologischer Raum ist derart, dass die Verknüpfung
und die Inversenbildung
stetige Abbildungen sind.
Unter einem komplexen Torus versteht man den Quotientenraum zu einem Gitter .
Es sei eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen den zusammenhängenden riemannschen Flächen und . Es sei ein Punkt mit . Es sei ein lokaler Parameter um . Dann nennt man die Nullstellenordnung der (in einer offenen Umgebung von definierten) holomorphen Funktion im Punkt den Verzweigungsindex von in . Sie wird mit bezeichnet.
Es sei ein topologischer Raum. Unter einer Prägarbe auf versteht man eine Zuordnung, die jeder offenen Menge eine Menge und zu je zwei offenen Mengen eine Abbildung
zuordnet, wobei diese Zuordnung die beiden folgenden Bedingungen erfüllen muss.
- Zu
ist
- Zu offenen Mengen
ist stets
Eine Prägarbe auf einem topologischen Raum heißt Prägarbe von Gruppen, wenn zu jeder offenen Menge die Menge eine Gruppe und zu jeder Inklusion die Restriktionsabbildung
ein Gruppenhomomorphismus ist.
Zu einer Prägarbe auf einem topologischen Raum und einem Punkt nennt man
den Halm der Prägarbe im Punkt .
Es seien und Prägarben auf einem topologischen Raum . Ein Morphismus von Prägarben
ist eine Familie von Abbildungen
für jede offene Menge derart, dass zu jeder offenen Inklusion das Diagramm
kommutiert.
Es sei ein topologischer Raum. Unter einer Garbe auf versteht man eine Prägarbe auf , die die folgenden Eigenschaften erfüllt.
- Zu jeder offenen Überdeckung und Elementen mit für alle gilt .
- Zu jeder offenen Überdeckung und Elementen mit für alle gibt es ein mit für alle .
Ein Garbenmorphismus zwischen Garben auf einem topologischer Raum heißt surjektiv, wenn für jeden Punkt die Halmabbildung
surjektiv ist.
Zu einer Garbe von kommutativen Gruppen und einer Untergarbe von Gruppen nennt man die Vergarbung der Prägarbe die Quotientengarbe zu
Ein exakter Komplex
von Garben von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum heißt kurze exakte Sequenz.
Es sei eine Prägarbe auf einem topologischen Raum . Unter dem Ausbreitungsraum zu versteht man die Menge
zusammen mit der Projektion
die einem jeden Keim seinen Basispunkt zuordnet, versehen mit der Topologie, die durch die Basis
zu offenen Mengen und Schnitten definiert wird.
Es sei eine riemannsche Fläche und sei ein stetiger Weg mit und . Man sagt, dass ein holomorpher Funktionskeim aus einem holomorphen Funktionskeim durch analytische Fortsetzung längs hervorgeht, wenn es Punkte , zusammenhängende offene Mengen mit und holomorphe Funktionen derart gibt, dass , und und in einer offenen Umgebung von übereinstimmen.
Es sei eine riemannsche Fläche, seien holomorphe Funktionen auf und sei das durch diese Koeffizientenfunktionen definierte Polynom aus . Dann nennt man
das Nullstellengebilde zu .
Es sei eine riemannsche Fläche, seien holomorphe Funktionen auf und sei das Nullstellengebilde zu . Es sei die Projektion auf . Dann nennt man
das unverzweigte Nullstellengebilde zu .
Es sei eine riemannsche Fläche, seien holomorphe Funktionen auf und sei das Nullstellengebilde zu . Es sei die Projektion auf . Dann nennt man
das glatte Nullstellengebilde zu . Hierbei bezeichnet einen lokalen Parameter in einer offenen Umgebung von .
Es sei ein Polynom ohne mehrfache Nullstelle vom Grad und sei die zugehörige riemannsche Wurzelfläche mit der Projektion , . Man nennt die Fortsetzung von (über ) im Sinne von Satz 14.11 die hyperelliptische riemannsche Fläche zu .
Es sei eine komplexe Mannigfaltigkeit und ein Punkt. Man nennt den komplexen Dualraum des Tangentialraumes an den (holomorphen) Kotangentialraum an . Er wird mit
bezeichnet.
Eine holomorphe Differentialform auf einer riemannschen Fläche ist ein holomorpher Schnitt im Kotangentialbündel .
Auf einer komplexen Mannigfaltigkeit bezeichnet man mit
die Menge aller komplexwertigen Funktionen auf , die im reellen Sinn unendlich oft differenzierbar sind.
Es sei eine komplexe Mannigfaltigkeit. Unter einer differenzierbaren 1-Form auf versteht man eine -Abbildung
mit .
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine - Differentialform auf heißt exakt, wenn es eine differenzierbare Funktion auf mit gibt.
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine differenzierbare Differentialform auf heißt geschlossen, wenn ihre äußere Ableitung ist.
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und eine - Differentialform. Es sei
eine stetig differenzierbare Kurve. Dann heißt
das Wegintegral von längs .
Es sei eine riemannsche Fläche. Eine meromorphe Funktion auf ist gegeben durch eine diskrete Menge und eine holomorphe Funktion
derart, dass für jedes der Limes in existiert oder gleich ist.
Es sei eine riemannsche Fläche, eine offene Teilmenge und . Zu einer meromorphen Funktion auf mit der Laurent-Entwicklung in nennt man den Hauptteil der Funktion in .
Es sei eine riemannsche Fläche. Eine meromorphe Differentialform auf wird gegeben durch eine holomorphe Differentialform auf , wobei eine diskrete Teilmenge bezeichnet, mit der Eigenschaft, dass für jeden Punkt lokal die Differentialform von der Form mit einer meromorphen Funktion und mit einem lokalen Parameter in ist.
Es sei eine zusammenhängende riemannsche Fläche und eine meromorphe Funktion auf . Dann nennt man die formale Summe
den Hauptdivisor zu . Er wird mit bezeichnet.
Es sei eine riemannsche Fläche. Man nennt eine formale Summe
mit und der Eigenschaft, dass außerhalb einer diskreten Teilmenge die Zahlen sind, einen Divisor auf .
Es sei eine zusammenhängende riemannsche Fläche mit dem Körper der meromorphen Funktionen. Man nennt die Restklassengruppe
die Divisorenklassengruppe von . Sie wird mit bezeichnet.
Es sei eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche. Man nennt
die Divisorenklassengruppe vom Grad 0 zu .
Zu einer meromorphen Differentialform auf einer zusammenhängenden riemannschen Fläche definiert man den zugehörigen Divisor durch
mit , wenn eine lokale Beschreibung der Form mit einer meromorphen Funktion ist.
Ein - Modul auf einer riemannschen Fläche heißt invertierbar, wenn es eine offene Überdeckung derart gibt, dass die Einschränkungen isomorph zu sind.
Es sei eine riemannsche Fläche und ein Divisor auf . Dann nennt man die durch
die zu zugehörige invertierbare Garbe.
Zu einer kompakten zusammenhängenden riemannschen Fläche nennt man das Geschlecht von .
Es sei eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen den zusammenhängenden riemannschen Fläche und . Man nennt den Divisor , der für jeden Punkt die Ordnung
zugewiesen bekommt, den Verzweigungsdivisor von .
Es sei eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und sei der Dualraum des Raumes der globalen holomorphen Differentialformen auf . Dann nennt man
das Periodengitter von .
Zu einer kompakten zusammenhängenden riemannschen Fläche nennt man
wobei das Periodengitter bezeichnet, die Jacobische Varietät zu .