Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Definitionsabfrage
Eine auf einer
offenen Menge
definierte
Funktion
heißt holomorph, wenn sie komplex differenzierbar ist.
Ein
topologischer
Hausdorff-Raum
zusammen mit einer
offenen Überdeckung
und
Homöomorphismen
mit
derart, dass die
Übergangsabbildungen
Diffeomorphismen
sind, heißt
komplexe Mannigfaltigkeit
der Dimension . Die Menge der
Karten
,
,
nennt man auch den
Atlas
der Mannigfaltigkeit.
Eine
riemannsche Fläche
ist eine
komplexe Mannigfaltigkeit
der
(komplexen)
Dimension .
Eine Funktion
auf einer
riemannschen Fläche
heißt
holomorph,
wenn es eine offene Überdeckung
mit Karten
derart gibt, dass
holomorph sind.
Zu einer
riemannschen Fläche
bezeichnet man den Ring der
holomorphen Funktionen
auf
mit
und spricht von der
(globalen Auswertung der)
Strukturgarbe
auf .
Es seien
und
riemannsche Flächen
und sei
eine
stetige Abbildung.
Man nennt
holomorph,
wenn für jede offene Teilmenge
und jede
holomorphe Funktion
die zusammengesetzte Funktion
holomorph ist.
Zwei
riemannsche Flächen
und
heißen
biholomorph,
wenn es
holomorphe Abbildungen
und
gibt mit
und
.
Es sei eine
komplexe Mannigfaltigkeit
und
ein Punkt. Es seien
und
zwei auf
offenen Bällen
definierte
holomorphe Kurven
mit
.
Dann heißen
und
tangential äquivalent in
, wenn es eine offene Umgebung
und eine
Karte
mit
derart gibt, dass
gilt.
Es sei eine
komplexe Mannigfaltigkeit
und
ein Punkt. Unter einem Tangentialvektor an
versteht man eine
Äquivalenzklasse
von
tangential äquivalenten
holomorphen Kurven
durch
. Die Menge dieser Tangentialvektoren wird mit
bezeichnet.
Es sei eine
komplexe Mannigfaltigkeit
und
ein Punkt. Unter dem Tangentialraum an
, geschrieben
, versteht man die Menge der
Tangentialvektoren
an
versehen mit der durch eine beliebige
Karte
gegebenen komplexen
Vektorraumstruktur.
Es sei eine
komplexe Mannigfaltigkeit
der
Dimension
und
das Tangentialbündel, versehen mit der Projektionsabbildung
Das Tangentialbündel wird mit derjenigen
Topologie
versehen, bei der eine Teilmenge
genau dann
offen
ist, wenn für jede
Karte
die Menge offen in
ist.
Es seien
und
komplexe Mannigfaltigkeiten
und es sei
eine
holomorphe Abbildung.
Es sei
und
.
Dann nennt man die Abbildung
die zugehörige Tangentialabbildung im Punkt . Sie wird mit
bezeichnet.
Es sei ein
Körper.
Der projektive
-dimensionale Raum
besteht aus allen Geraden des
durch den Nullpunkt, wobei diese Geraden als Punkte aufgefasst werden. Ein solcher Punkt wird repräsentiert durch homogene Koordinaten
, wobei nicht alle
sein dürfen, und wobei zwei solche Koordinatentupel genau dann den gleichen Punkt repräsentieren, wenn sie durch Multiplikation mit einem Skalar
ineinander übergehen.
Der
komplex-projektive Raum
wird mit der
Quotiententopologie
zur
Kegelabbildung
versehen.
Es sei ein
Körper.
Zu einem
homogenen Polynom
bezeichnet man die Menge
als die projektive Nullstellenmenge zu .
Es seien
und
topologische Räume.
Eine
stetige Abbildung
heißt
Überlagerung,
wenn es eine
offene Überdeckung
und eine Familie
diskreter
topologischer Räume
,
,
derart gibt, dass
homöomorph
zu
(versehen mit der
Produkttopologie)
ist, wobei die Homöomorphien mit den Abbildungen nach
verträglich sind.
Eine stetige Abbildung
zwischen
topologischen Räumen
und
heißt lokaler Homöomorphismus, wenn es zu jedem Punkt
eine
offene Umgebung
derart gibt, dass
offen in
ist und dass die Einschränkung
ein Homöomorphismus ist.
Es seien
und
topologische Räume.
Zu einer
stetigen Abbildung
und einem
stetigen Weg
nennt man einen stetigen Weg
mit
eine
Liftung
von .
Es sei
eine
Überlagerung
von
. Ein
Homöomorphismus
mit
heißt
Decktransformation
der Überlagerung.
Eine Überlagerung
heißt normal, wenn es zu jedem Punkt
und jedem Punktepaar
eine
Decktransformation
mit
gibt.
Eine
Überlagerung
heißt endlich, wenn jede
Faser
eine endliche Menge ist.
Unter einem
Gitter
in den
komplexen Zahlen
versteht man ein
vollständiges Gitter
.
Eine
topologische Gruppe
ist eine
Gruppe
, die zugleich ein
topologischer Raum
ist derart, dass die Verknüpfung
und die Inversenbildung
stetige Abbildungen sind.
Unter einem
komplexen Torus
versteht man den
Quotientenraum
zu einem
Gitter
.
Es sei
eine nichtkonstante
holomorphe Abbildung
zwischen den
zusammenhängenden
riemannschen Flächen
und
.
Es sei
ein Punkt mit
.
Es sei
ein
lokaler Parameter
um
. Dann nennt man die
Nullstellenordnung
der
(in einer offenen Umgebung von
definierten)
holomorphen Funktion
im Punkt
den
Verzweigungsindex
von
in
. Sie wird mit
bezeichnet.
Es sei ein
topologischer Raum.
Unter einer
Prägarbe
auf
versteht man eine Zuordnung, die jeder
offenen Menge
eine Menge
und zu je zwei offenen Mengen
eine
Abbildung
zuordnet, wobei diese Zuordnung die beiden folgenden Bedingungen erfüllen muss.
- Zu
ist
-
- Zu offenen Mengen
ist stets
-
Eine
Prägarbe
auf einem
topologischen Raum
heißt
Prägarbe von Gruppen,
wenn zu jeder
offenen Menge
die Menge
eine
Gruppe
und zu jeder Inklusion
die Restriktionsabbildung
ein Gruppenhomomorphismus ist.
Zu einer
Prägarbe
auf einem
topologischen Raum
und einem Punkt
nennt man
den
Halm
der Prägarbe im Punkt .
Es seien
und
Prägarben
auf einem topologischen Raum
. Ein
Morphismus von Prägarben
ist eine Familie von Abbildungen
für jede offene Menge
derart, dass zu jeder offenen Inklusion
das Diagramm
kommutiert.
Es sei ein
topologischer Raum.
Unter einer
Garbe
auf
versteht man eine
Prägarbe
auf
, die die folgenden Eigenschaften erfüllt.
- Zu jeder
offenen Überdeckung
und Elementen
mit
für alle
gilt
.
- Zu jeder offenen Überdeckung
und Elementen
mit
für alle
gibt es ein
mit
für alle
.
Ein
Garbenmorphismus
zwischen
Garben
auf einem
topologischer Raum
heißt
surjektiv,
wenn für jeden Punkt
die
Halmabbildung
surjektiv ist.
Zu einer
Garbe
von
kommutativen Gruppen
und einer
Untergarbe
von Gruppen
nennt man die
Vergarbung
der
Prägarbe
die
Quotientengarbe
zu
Ein exakter Komplex
von
Garben von kommutativen Gruppen
auf einem
topologischen Raum
heißt
kurze exakte Sequenz.
Es sei eine
Prägarbe
auf einem
topologischen Raum
. Unter dem
Ausbreitungsraum
zu
versteht man die Menge
zusammen mit der Projektion
die einem jeden
Keim
seinen Basispunkt
zuordnet, versehen mit der Topologie, die durch die
Basis
zu offenen Mengen
und Schnitten
definiert wird.
Es sei eine
riemannsche Fläche
und sei
ein
stetiger Weg
mit
und
.
Man sagt, dass ein
holomorpher Funktionskeim
aus einem holomorphen Funktionskeim
durch
analytische Fortsetzung
längs
hervorgeht, wenn es Punkte
,
zusammenhängende offene Mengen
mit
und
holomorphe Funktionen
derart gibt, dass
,
und
und
in einer offenen Umgebung von
übereinstimmen.
Es sei eine
riemannsche Fläche,
seien
holomorphe Funktionen
auf
und sei
das durch diese Koeffizientenfunktionen definierte Polynom aus
. Dann nennt man
das
Nullstellengebilde
zu .
Es sei eine
riemannsche Fläche,
seien
holomorphe Funktionen
auf
und sei
das
Nullstellengebilde
zu
.
Es sei
die Projektion auf
. Dann nennt man
das
unverzweigte Nullstellengebilde
zu .
Es sei eine
riemannsche Fläche,
seien
holomorphe Funktionen
auf
und sei
das
Nullstellengebilde
zu
.
Es sei
die Projektion auf
. Dann nennt man
das
glatte Nullstellengebilde
zu . Hierbei bezeichnet
einen
lokalen Parameter
in einer
offenen Umgebung
von
.
Es sei
ein Polynom ohne mehrfache Nullstelle vom Grad
und sei
die zugehörige riemannsche Wurzelfläche mit der Projektion
,
.
Man nennt die Fortsetzung
von
(über
)
im Sinne von
Satz 14.11
die
hyperelliptische riemannsche Fläche
zu
.
Es sei eine
komplexe Mannigfaltigkeit
und
ein Punkt. Man nennt den komplexen
Dualraum
des
Tangentialraumes
an
den
(holomorphen)
Kotangentialraum an
. Er wird mit
bezeichnet.
Eine
holomorphe Differentialform
auf einer
riemannschen Fläche
ist ein
holomorpher Schnitt
im
Kotangentialbündel
.
Auf einer
komplexen Mannigfaltigkeit
bezeichnet man mit
die Menge aller komplexwertigen Funktionen auf , die im reellen Sinn unendlich oft
differenzierbar
sind.
Es sei eine
komplexe Mannigfaltigkeit.
Unter einer
differenzierbaren 1-Form
auf
versteht man eine
-Abbildung
mit
.
Es sei eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit.
Eine
-
Differentialform
auf
heißt exakt, wenn es eine
differenzierbare
Funktion
auf
mit
gibt.
Es sei eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit.
Eine
differenzierbare
Differentialform
auf
heißt geschlossen, wenn ihre
äußere Ableitung
ist.
Es sei eine
differenzierbare Mannigfaltigkeit
und
eine
-
Differentialform.
Es sei
eine stetig differenzierbare Kurve. Dann heißt
das Wegintegral von längs
.
Es sei eine
riemannsche Fläche.
Eine
meromorphe Funktion
auf
ist gegeben durch eine
diskrete Menge
und eine
holomorphe Funktion
derart, dass für jedes
der
Limes
in
existiert oder gleich
ist.
Es sei eine
riemannsche Fläche,
eine offene Teilmenge und
.
Zu einer
meromorphen Funktion
auf
mit der
Laurent-Entwicklung
in
nennt man
den
Hauptteil
der Funktion in
.
Es sei eine
riemannsche Fläche.
Eine
meromorphe Differentialform
auf
wird gegeben durch eine
holomorphe Differentialform
auf
, wobei
eine
diskrete Teilmenge
bezeichnet, mit der Eigenschaft, dass für jeden Punkt
lokal die Differentialform von der Form
mit einer
meromorphen Funktion
und mit einem lokalen Parameter
in
ist.
Es sei eine
zusammenhängende
riemannsche Fläche
und
eine
meromorphe Funktion
auf
. Dann nennt man die formale Summe
den
Hauptdivisor
zu . Er wird mit
bezeichnet.
Es sei eine
riemannsche Fläche.
Man nennt eine formale Summe
mit
und der Eigenschaft, dass außerhalb einer diskreten Teilmenge
die Zahlen
sind, einen
Divisor
auf
.
Es sei eine
zusammenhängende
riemannsche Fläche
mit dem Körper
der
meromorphen Funktionen.
Man nennt die
Restklassengruppe
die
Divisorenklassengruppe
von . Sie wird mit
bezeichnet.
Es sei eine
kompakte
zusammenhängende
riemannsche Fläche.
Man nennt
die
Divisorenklassengruppe vom Grad 0
zu .
Zu einer
meromorphen Differentialform
auf einer
zusammenhängenden
riemannschen Fläche
definiert man den
zugehörigen Divisor
durch
mit
,
wenn
eine lokale Beschreibung der Form mit einer
meromorphen Funktion
ist.
Ein
-
Modul
auf einer
riemannschen Fläche
heißt
invertierbar,
wenn es eine
offene Überdeckung
derart gibt, dass die Einschränkungen
isomorph
zu
sind.
Es sei eine
riemannsche Fläche
und
ein
Divisor
auf
. Dann nennt man die durch
die zu zugehörige
invertierbare Garbe.
Zu einer
kompakten
zusammenhängenden
riemannschen Fläche
nennt man
das
Geschlecht
von
.
Es sei
eine nichtkonstante
holomorphe Abbildung
zwischen den
zusammenhängenden
riemannschen Fläche
und
.
Man nennt den
Divisor
, der für jeden Punkt
die Ordnung
zugewiesen bekommt, den
Verzweigungsdivisor
von .
Es sei eine
kompakte
zusammenhängende
riemannsche Fläche
und sei
der
Dualraum
des Raumes der globalen
holomorphen Differentialformen
auf
. Dann nennt man
das
Periodengitter
von .
Zu einer
kompakten
zusammenhängenden
riemannschen Fläche
nennt man
wobei das
Periodengitter
bezeichnet, die
Jacobische Varietät
zu
.