Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 20/latex
\setcounter{section}{20}
\inputaufgabe
{}
{
Beschreibe für je zwei \zusatzklammer {einschließlich dem Fall, dass das Produkt mit sich selbst genommen wird} {} {} der folgenden geometrischen Mengen die Produktmengen. \aufzaehlungvier{Ein Geradenstück $I$. }{Eine Kreislinie $K$. }{Eine Kreisscheibe $D$. }{Eine Parabel $P$. } Welche Produktmengen lassen sich als eine Teilmenge im Raum realisieren, welche nicht?
}
{} {}
Unter dem \definitionswort {Produkt der topologischen Räume}{}
\mathkor {} {X} {und} {Y} {}
versteht man die
\definitionsverweis {Produktmenge}{}{}
\mathl{X \times Y}{} zusammen mit derjenigen Topologie
\zusatzklammer {genannt \definitionswort {Produkttopologie}{}} {} {,}
bei der eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W
}
{ \subseteq }{ X \times Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann offen ist, wenn man sie als Vereinigung von Produktmengen der Form
\mathl{U \times V}{} mit offenen Mengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ \subseteq }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben kann.
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {X} {und} {Y} {}
\definitionsverweis {topologische Räume}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Produkttopologie}{}{}
auf
\mathl{X \times Y}{} die kleinste Topologie ist, bezüglich der die beiden
\definitionsverweis {Projektionen}{}{}
\mathkor {} {X \times Y \rightarrow X} {und} {X \times Y \rightarrow Y} {}
\definitionsverweis {stetig}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {(M_1,d_1)} {und} {(M_2,d_2)} {}
\definitionsverweis {metrische Räume}{}{.}
Zeige, dass auf der
\definitionsverweis {Produktmenge}{}{}
\mathl{M_1 \times M_2}{} durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d( (x_1,x_2), (y_1,y_2))
}
{ =} { \sqrt{ d_1(x_1,y_1)^2 + d_2(x_2,y_2)^2 }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Metrik gegeben ist, und dass die dadurch definierte
\definitionsverweis {Topologie}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Produkttopologie}{}{}
übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien \mathkor {} {X} {und} {Y} {} \definitionsverweis {diskrete topologische Räume}{}{.} Zeige, dass auch der \definitionsverweis {Produktraum}{}{} diskret ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass
\mathl{\R^2 \setminus \{0\}}{}
\definitionsverweis {diffeomorph}{}{}
zu einem Produkt aus eindimensionalen
\definitionsverweis {Mannigfaltigkeiten}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {M_1 \subseteq N_1} {und} {M_2 \subseteq N_2} {}
\definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten}{}{.} Zeige, dass ihr
\definitionsverweis {Produkt}{}{}
\mathl{M_1 \times M_2}{} eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von
\mathl{N_1 \times N_2}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{0 < r < R}{} und sei
\mathdisp {T = { \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid { \left( \sqrt{x^2+y^2} -R \right) }^2 +z^2 = r^2 \right\} }} { . }
Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {} {S^1 \times S^1} {T
} {( \varphi, \psi) } {( (R +r \cos \psi) \cos \varphi, (R+ r \cos \psi ) \sin \varphi , r \sin \psi )
} {}
eine
\definitionsverweis {Bijektion}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{.} Zeige, dass die Vertauschungsabbildung \maabbeledisp {} {M \times M} { M \times M } {(P,Q)} {(Q,P) } {,} ein \definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir schließen an
Bemerkung 18.1
an. Die Hintereinanderschaltung
\mathdisp {V \times W \stackrel{f \times g}{ \longrightarrow} K \times K \stackrel{+}{\longrightarrow} K} { }
nennen wir
\mathl{f \oplus g}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f \oplus g
}
{ =} { { \left( f \otimes 1 \right) } + { \left( 1 \otimes g \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und seien
\mathkor {} {I} {und} {J} {}
endliche Indexmengen. Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {} { \operatorname{Abb} \, { \left( I , K \right) } \times \operatorname{Abb} \, { \left( J , K \right) } } { \operatorname{Abb} \, { \left( I \times J , K \right) }
} {(f,g)} { f \otimes g
} {,}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( f \otimes g ) (i,j)
}
{ \defeq} { f(i) \cdot g(j)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {multilinear}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mathkor {} {X} {und} {Y} {}
\definitionsverweis {endliche Mengen}{}{.}
Zeige, dass man jede Funktion
\maabbdisp {h} {X \times Y} {K
} {} in der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h
}
{ =} { \sum_{i= 1}^n f_i \cdot g_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{} mit Funktionen
\maabb {f_i} {X} {K
} {}
und
\maabb {g_i} {Y} {K
} {} schreiben kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
Zeige, dass man nicht jede Funktion
\maabbdisp {h} {\N \times \N} {K
} {} in der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h
}
{ =} { \sum_{i= 1}^n f_i \cdot g_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{} mit Funktionen
\maabb {f_i} {\N} {K
} {}
und
\maabb {g_i} {\N} {K
} {} schreiben kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass man nicht jede
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
\maabbdisp {h} {\R \times \R} {\R
} {} in der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h
}
{ =} { \sum_{i= 1}^n f_i \cdot g_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{} mit stetigen Funktionen
\maabb {f_i,g_i} {\R } { \R
} {}
schreiben kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass man die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabbeledisp {h} {\R \times \R} {\R
} {(x,y)} { \sqrt{x^2+y^2}
} {,} nicht in der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h
}
{ =} { \sum_{i= 1}^n f_i \cdot g_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{} mit stetigen Funktionen
\maabb {f_i,g_i} {\R} {\R
} {}
schreiben kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {affin-algebraische Mengen}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt. Beschreibe das
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
zu
\mathl{x \times W}{} im Koordinantering zu
\mathl{V \times W}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {affin-algebraische Mengen}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt und sei
\maabbeledisp {} {W} {V \times W
} {y} { (x,y)
} {.}
Beschreibe diese Abbildung auf der Ebene der Koordinatenringe.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
und seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {affin-algebraische Mengen}{}{}
über $K$ der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
\mathkor {} {r} {bzw.} {s} {.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Produktvarietät}{}{}
die Dimension
\mathl{r+s}{} besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine Kurve
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass es auf ihr Punkte
\mathl{P_1,P_2,P_3 \in C}{} gibt, deren
\definitionsverweis {Einbettungsdimensionen}{}{}
gleich $1,2,3$ sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ der \definitionsverweis {lokale Ring}{}{} zum Überkreuzungspunkt des dreidimensionalen Achsenkreuzes. Bestimme dessen \definitionsverweis {Einbettungsdimension}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {noetherscher}{}{}
\definitionsverweis {lokaler Ring}{}{}
und $M$ ein
\definitionsverweis {endlich erzeugter}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
mit einer Summenzerlegung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{M_1 \oplus M_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass für die
\definitionsverweis {minimale Erzeugendenzahl}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mu (M)
}
{ =} {\mu (M_1) + \mu (M_2)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei
\mathdisp {0\stackrel{}{\longrightarrow}L
\stackrel{}{\longrightarrow}M
\mathdisplaybruch\stackrel{}{\longrightarrow}N
\stackrel{}{\longrightarrow}0} { }
eine
\definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{}
von
$R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{.}
Es gebe ein
$R$-\definitionsverweis {Modul-Erzeugen\-densystem}{}{}
von $L$ mit $k$ Elementen und ein $R$-Modul-Erzeugendensystem von $N$ mit $n$ Elementen. Zeige, dass es ein $R$-Modul-Erzeugendensystem von $M$ mit $k+n$ Elementen gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {noetherscher}{}{}
\definitionsverweis {lokaler Ring}{}{.}
Man gebe ein Beispiel für eine
\definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{}
\mathdisp {0 \longrightarrow M_1 \longrightarrow M \longrightarrow M_2 \longrightarrow 0} { }
von
\definitionsverweis {endlich erzeugten}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{}
derart, dass für die
\definitionsverweis {minimale Erzeugendenzahl}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mu (M)
}
{ \neq} {\mu (M_1) + \mu (M_2)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}