Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 20

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Aufgabe

Beschreibe für je zwei (einschließlich dem Fall, dass das Produkt mit sich selbst genommen wird) der folgenden geometrischen Mengen die Produktmengen.

  1. Ein Geradenstück .
  2. Eine Kreislinie .
  3. Eine Kreisscheibe .
  4. Eine Parabel .

Welche Produktmengen lassen sich als eine Teilmenge im Raum realisieren, welche nicht?


Unter dem Produkt der topologischen Räume und versteht man die Produktmenge zusammen mit derjenigen Topologie (genannt Produkttopologie), bei der eine Teilmenge genau dann offen ist, wenn man sie als Vereinigung von Produktmengen der Form mit offenen Mengen und schreiben kann.


Aufgabe

Es seien und topologische Räume. Zeige, dass die Produkttopologie auf die kleinste Topologie ist, bezüglich der die beiden Projektionen und stetig sind.

Aufgabe

Es seien und metrische Räume. Zeige, dass auf der Produktmenge durch

eine Metrik gegeben ist, und dass die dadurch definierte Topologie mit der Produkttopologie übereinstimmt.


Aufgabe

Es seien und diskrete topologische Räume. Zeige, dass auch der Produktraum diskret ist.


Aufgabe

Zeige, dass diffeomorph zu einem Produkt aus eindimensionalen Mannigfaltigkeiten ist.


Aufgabe

Es seien und abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten. Zeige, dass ihr Produkt eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von ist.


Aufgabe

Sei und sei

Zeige, dass die Abbildung

eine Bijektion ist.


Aufgabe

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Zeige, dass die Vertauschungsabbildung

ein Diffeomorphismus ist.


Aufgabe

Wir schließen an Bemerkung 18.1 an. Die Hintereinanderschaltung

nennen wir . Zeige


Aufgabe *

Sei ein Körper und seien und endliche Indexmengen. Zeige, dass die Abbildung

mit

multilinear ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und seien und endliche Mengen. Zeige, dass man jede Funktion

in der Form
mit Funktionen

und schreiben kann.


Aufgabe

Es sei ein Körper. Zeige, dass man nicht jede Funktion

in der Form
mit Funktionen

und schreiben kann.


Aufgabe

Zeige, dass man nicht jede stetige Funktion

in der Form
mit stetigen Funktionen

schreiben kann.


Aufgabe

Zeige, dass man die Funktion

nicht in der Form
mit stetigen Funktionen

schreiben kann.


Aufgabe

Seien und affin-algebraische Mengen und sei ein Punkt. Beschreibe das Ideal zu im Koordinantering zu .


Aufgabe

Seien und affin-algebraische Mengen, sei ein Punkt und sei

Beschreibe diese Abbildung auf der Ebene der Koordinatenringe.


Aufgabe

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien und affin-algebraische Mengen über der Dimension bzw. . Zeige, dass die Produktvarietät die Dimension besitzt.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine Kurve derart, dass es auf ihr Punkte gibt, deren Einbettungsdimensionen gleich sind.


Aufgabe

Es sei der lokale Ring zum Überkreuzungspunkt des dreidimensionalen Achsenkreuzes. Bestimme dessen Einbettungsdimension.


Aufgabe

Es sei ein noetherscher lokaler Ring und ein endlich erzeugter -Modul mit einer Summenzerlegung . Zeige, dass für die minimale Erzeugendenzahl die Beziehung

gilt.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und sei

eine kurze exakte Sequenz von -Moduln. Es gebe ein -Modul-Erzeugendensystem von mit Elementen und ein -Modul-Erzeugendensystem von mit Elementen. Zeige, dass es ein -Modul-Erzeugendensystem von mit Elementen gibt.


Aufgabe *

Es sei ein noetherscher lokaler Ring. Man gebe ein Beispiel für eine kurze exakte Sequenz

von endlich erzeugten -Moduln derart, dass für die minimale Erzeugendenzahl

gilt.



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