Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 21/latex
\setcounter{section}{21}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{V { \left( X^a-Y^b \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und teilerfremd der
\definitionsverweis {lokale Ring}{}{}
\mathl{{ \left( K[X,Y]_{ {\mathfrak m}_P} \right) } /{ \left( X^a-Y^b \right) }}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{(0,0)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nicht
\definitionsverweis {regulär}{}{}
ist und für alle anderen Punkte regulär ist. Man gebe für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{(1,1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einen Erzeuger des maximalen Ideals an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subseteq }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {numerisches Monoid}{}{,}
das von teilerfremden Erzeugern erzeugt werde, es sei
\mathl{K[M]}{} der
\definitionsverweis {Monoidring}{}{}
zu $M$ über einem Körper $K$ und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} { K[M]_{\mathfrak m}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
am
\definitionsverweis {maximalen Ideale}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ K[ M_+]
}
{ = }{ \langle T^m ,\, m \in M \rangle
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $R$ allein im Fall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{} mit \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} $Q$. Zeige, dass es keinen echten Zwischenring zwischen $R$ und $Q$ gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $K(T)$ der
\definitionsverweis {Körper der rationalen Funktionen}{}{}
über $K$. Finde einen
\definitionsverweis {diskreten Bewertungsring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ \subseteq }{ K(T)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q(R)
}
{ = }{ K(T)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R \cap K[T]
}
{ = }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{C
}
{ = }{ V(F)
}
{ \subset }{ {\mathbb A}^{2}_{K}
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein glatter Punkt einer ebenen irreduziblen Kurve. Zeige, dass der zugehörige lokale Ring ein diskreter Bewertungsring ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei
\maabbdisp {\nu} {(K^\times, \cdot,1)} { (\Z,+,0)
} {}
ein
\definitionsverweis {surjektiver}{}{}
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \nu(f+g)
}
{ \geq }{\min\{ \nu(f) , \nu(g)\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f,g
}
{ \in }{ K^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} { { \left\{ f \in K^\times \mid \nu(f) \geq 0 \right\} } \cup \{0\}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ ( \pi)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{R/ (\pi)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{}
von $R$. Zeige, dass es für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einen
$R$-\definitionsverweis {Modulisomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} { (\pi^ n)/( \pi^ {n+1} )} { K
} {}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{K[X,Y,Z]_{(X,Y,Z)}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bestimme mit Hilfe von
Lemma 21.4,
ob die folgenden Restklassenringe
\mathl{R/(f_1 , \ldots , f_n)}{}
\definitionsverweis {regulär}{}{}
sind
\zusatzklammer {und von welcher Dimension} {} {.}
\aufzaehlungsechs{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f_1
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f_1
}
{ = }{X+3Y+Z^7-XYZ^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f_1
}
{ = }{XY+X^2 -Y^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f_1
}
{ = }{X+Y^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f_2
}
{ = }{X+Z^5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f_1
}
{ = }{2X-3Y+Y^2Z-XYZ
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f_2
}
{ = }{X+Z^4-Y^{17}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f_1
}
{ = }{2X-5Y+Z+XY-Z^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f_2
}
{ = }{X-3Y+Z+X^2Y^2Z^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f_3
}
{ = }{-3X+Z- Z^2-XYZ^{2}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {lokaler regulärer Ring}{}{}
der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
$d$ mit
\definitionsverweis {maximalem Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ { \left( x_1 , \ldots , x_d \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^\alpha
}
{ =} {x_1^{\alpha_1} \cdots x_d^{\alpha_d}
}
{ =} { x_1^{\beta_1} \cdots x_d^{\beta_d}
}
{ =} {x^\beta
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nur bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\alpha
}
{ = }{ \beta
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme ein minimales Erzeugendensystem für das maximale Ideal im lokalen Ring zum Punkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(1,0,0,1)
}
{ \in} { V(XY-UV)
}
{ \subseteq} { { {\mathbb A}_{ K }^{ 4 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ = }{V ( {\mathfrak a} )
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {affin-algebraische Menge}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt, in dem $V$ die
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
$d$ besitzt. Es sei
\mathl{{\mathcal O}_P}{} der
\definitionsverweis {lokale Ring}{}{}
zu $P$. Zeige, dass ${\mathcal O}_P$ genau dann ein
\definitionsverweis {regulärer Ring}{}{}
ist, wenn es einen
\mathl{(n-d)}{-}dimensionalen linearen Raum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ = }{V( {\mathfrak b} )
}
{ \subseteq }{{ {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass im lokalen Ring die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} + {\mathfrak b}
}
{ =} { {\mathfrak m}_P
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n ]}{} der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
über $K$. Zeige durch Induktion über $n$, dass jedes
\definitionsverweis {maximale Ideal}{}{}
in
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n ]}{} von $n$ Elementen
\definitionsverweis {erzeugt}{}{}
wird.
}
{} {}
Ein
\definitionsverweis {noetherscher}{}{}
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
\mathl{R}{} heißt
\definitionswort {regulär}{,}
wenn jede
\definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
\mathl{R_{\mathfrak m}}{} an einem
\definitionsverweis {maximalen Ideal}{}{}
${\mathfrak m}$
\definitionsverweis {regulär}{}{}
ist.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {regulärer lokaler Ring}{}{.} Zeige, dass dann auch der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} $R[X]$ regulär ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $(R, {\mathfrak m})$ ein
\definitionsverweis {noetherscher}{}{}
\definitionsverweis {lokaler}{}{}
\definitionsverweis { Integritätsbereich}{}{}
und $M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}
Der
$R/ {\mathfrak m}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
\mathl{M/ {\mathfrak m} M}{} und der $Q(R)$ Vektorraum
\mathl{M \otimes_{ R } Q(R)}{} habe die gleiche
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
$d$. Zeige, dass $M$ ein
\definitionsverweis {freier Modul}{}{}
vom Rang $d$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K
}
{ =} { \Z/(p) (U)
}
{ \subseteq} { R
}
{ =} {K[Y] / { \left( Y^p -U \right) }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \cong }{ K(Y)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, dass $R$
\definitionsverweis {regulär}{}{}
ist und dass der
\definitionsverweis {Modul der Kähler-Differentiale}{}{}
\mathl{\Omega_{ R {{|}} K }}{} nicht frei ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z/(p)
}
{ \subseteq} { \Z/(p) (X)
}
{ \subseteq} { { \left( \Z/(p) (X) \right) } [Y]/ { \left( Y^p-X \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zu einer
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
$p$.
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass die hintere Körpererweiterung
\definitionsverweis {endlich}{}{,}
aber nicht
\definitionsverweis {separabel}{}{}
ist.
}{Zeige, dass
\mathl{\{X \}}{} eine
\definitionsverweis {Transzendenzbasis}{}{}
der Gesamterweiterung, aber keine
\definitionsverweis {separierende Transzendenzbasis}{}{}
ist.
}{Finde eine separierende Transzendenzbasis für die Gesamterweiterung.
}
}
{} {}