Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 21

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Aufgabe

Zeige, dass zu mit und teilerfremd der lokale Ring für nicht regulär ist und für alle anderen Punkte regulär ist. Man gebe für einen Erzeuger des maximalen Ideals an.


Aufgabe

Es sei ein numerisches Monoid, das von teilerfremden Erzeugern erzeugt werde, es sei der Monoidring zu über einem Körper und es sei

die Lokalisierung am maximalen Ideale . Zeige, dass allein im Fall ein diskreter Bewertungsring ist.


Aufgabe

Sei ein diskreter Bewertungsring mit Quotientenkörper . Zeige, dass es keinen echten Zwischenring zwischen und gibt.


Aufgabe

Sei ein Körper und der Körper der rationalen Funktionen über . Finde einen diskreten Bewertungsring mit und mit .


Aufgabe *

Es sei ein glatter Punkt einer ebenen irreduziblen Kurve. Zeige, dass der zugehörige lokale Ring ein diskreter Bewertungsring ist.


Aufgabe *

Sei ein Körper und sei

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit für alle . Zeige, dass

ein diskreter Bewertungsring ist.


Aufgabe

Sei ein diskreter Bewertungsring und sei . Es sei der Restklassenkörper von . Zeige, dass es für jedes einen -Modulisomorphismus

gibt.


Aufgabe

Sei . Bestimme mit Hilfe von Lemma 21.4, ob die folgenden Restklassenringe regulär sind (und von welcher Dimension).

  1. .
  2. .
  3. .
  4. und .
  5. und .
  6. , und .


Aufgabe

Es sei ein lokaler regulärer Ring der Dimension mit maximalem Ideal . Zeige, dass

nur bei gilt.


Aufgabe

Bestimme ein minimales Erzeugendensystem für das maximale Ideal im lokalen Ring zum Punkt


Aufgabe

Es sei eine affin-algebraische Menge und ein Punkt, in dem die Dimension besitzt. Es sei der lokale Ring zu . Zeige, dass genau dann ein regulärer Ring ist, wenn es einen -dimensionalen linearen Raum derart gibt, dass im lokalen Ring die Beziehung

gilt.


Aufgabe

Es sei ein Körper und der Polynomring über . Zeige durch Induktion über , dass jedes maximale Ideal in von Elementen erzeugt wird.


Ein noetherscher kommutativer Ring heißt regulär, wenn jede Lokalisierung an einem maximalen Ideal regulär ist.


Aufgabe

Es sei ein regulärer lokaler Ring. Zeige, dass dann auch der Polynomring regulär ist.


Aufgabe

Es sei ein noetherscher lokaler Integritätsbereich und ein -Modul. Der -Vektorraum und der Vektorraum habe die gleiche Dimension . Zeige, dass ein freier Modul vom Rang ist.


Aufgabe

Sei eine Primzahl und

Zeige, dass ist, dass regulär ist und dass der Modul der Kähler-Differentiale nicht frei ist.


Aufgabe

Betrachte die Körpererweiterung

zu einer Primzahl .

  1. Zeige, dass die hintere Körpererweiterung endlich, aber nicht separabel ist.
  2. Zeige, dass eine Transzendenzbasis der Gesamterweiterung, aber keine separierende Transzendenzbasis ist.
  3. Finde eine separierende Transzendenzbasis für die Gesamterweiterung.



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