Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 21

Aufgabe

Zeige, dass zu ${}P\in V{\left(X^{a}-Y^{b}\right)}$ mit ${}a,b\geq 2$ und teilerfremd der lokale Ring ${}{\left(K[X,Y]_{{\mathfrak {m}}_{P}}\right)}/{\left(X^{a}-Y^{b}\right)}$ für ${}P=(0,0)$ nicht regulär ist und für alle anderen Punkte regulär ist. Man gebe für ${}P=(1,1)$ einen Erzeuger des maximalen Ideals an.

Aufgabe

Es sei ${}M\subseteq \mathbb {N}$ ein numerisches Monoid, das von teilerfremden Erzeugern erzeugt werde, es sei ${}K[M]$ der Monoidring zu ${}M$ über einem Körper ${}K$ und es sei

${}R=K[M]_{\mathfrak {m}}\,$

die Lokalisierung am maximalen Ideale ${}{\mathfrak {m}}=K[M_{+}]=\langle T^{m},\,m\in M\rangle$. Zeige, dass ${}R$ allein im Fall ${}M=\mathbb {N}$ ein diskreter Bewertungsring ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein diskreter Bewertungsring mit Quotientenkörper ${}Q$. Zeige, dass es keinen echten Zwischenring zwischen ${}R$ und ${}Q$ gibt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}K(T)$ der Körper der rationalen Funktionen über ${}K$. Finde einen diskreten Bewertungsring ${}R\subseteq K(T)$ mit ${}Q(R)=K(T)$ und mit ${}R\cap K[T]=K$.

Aufgabe *

Es sei ${}P\in C=V(F)\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ ein glatter Punkt einer ebenen irreduziblen Kurve. Zeige, dass der zugehörige lokale Ring ein diskreter Bewertungsring ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und sei

$\nu \colon (K^{\times },\cdot ,1)\longrightarrow (\mathbb {Z} ,+,0)$

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit ${}\nu (f+g)\geq \min\{\nu (f),\nu (g)\}$ für alle ${}f,g\in K^{\times }$. Zeige, dass

${}R={\left\{f\in K^{\times }\mid \nu (f)\geq 0\right\}}\cup \{0\}\,$

ein diskreter Bewertungsring ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein diskreter Bewertungsring und sei ${}{\mathfrak {m}}=(\pi )$. Es sei ${}K=R/(\pi )$ der Restklassenkörper von ${}R$. Zeige, dass es für jedes ${}n\in \mathbb {N}$ einen ${}R$- Modulisomorphismus

$(\pi ^{n})/(\pi ^{n+1})\longrightarrow K$

gibt.

Aufgabe

Sei ${}R=K[X,Y,Z]_{(X,Y,Z)}$. Bestimme mit Hilfe von Lemma 21.4, ob die folgenden Restklassenringe ${}R/(f_{1},\ldots ,f_{n})$ regulär sind (und von welcher Dimension).

1. ${}f_{1}=0$.
2. ${}f_{1}=X+3Y+Z^{7}-XYZ^{2}$.
3. ${}f_{1}=XY+X^{2}-Y^{3}$.
4. ${}f_{1}=X+Y^{3}$ und ${}f_{2}=X+Z^{5}$.
5. ${}f_{1}=2X-3Y+Y^{2}Z-XYZ$ und ${}f_{2}=X+Z^{4}-Y^{17}$.
6. ${}f_{1}=2X-5Y+Z+XY-Z^{3}$, ${}f_{2}=X-3Y+Z+X^{2}Y^{2}Z^{2}$ und ${}f_{3}=-3X+Z-Z^{2}-XYZ^{2}$.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein lokaler regulärer Ring der Dimension ${}d$ mit maximalem Ideal ${}{\mathfrak {m}}={\left(x_{1},\ldots ,x_{d}\right)}$. Zeige, dass

${}x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{d}^{\alpha _{d}}=x_{1}^{\beta _{1}}\cdots x_{d}^{\beta _{d}}=x^{\beta }\,$

nur bei ${}\alpha =\beta$ gilt.

Aufgabe

Bestimme ein minimales Erzeugendensystem für das maximale Ideal im lokalen Ring zum Punkt

${}(1,0,0,1)\in V(XY-UV)\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{4}}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}V=V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine affin-algebraische Menge und ${}P\in V$ ein Punkt, in dem ${}V$ die Dimension ${}d$ besitzt. Es sei ${}{\mathcal {O}}_{P}$ der lokale Ring zu ${}P$. Zeige, dass ${}{\mathcal {O}}_{P}$ genau dann ein regulärer Ring ist, wenn es einen ${}(n-d)$-dimensionalen linearen Raum ${}L=V({\mathfrak {b}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ derart gibt, dass im lokalen Ring die Beziehung

${}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}={\mathfrak {m}}_{P}\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring über ${}K$. Zeige durch Induktion über ${}n$, dass jedes maximale Ideal in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ von ${}n$ Elementen erzeugt wird.

Ein noetherscher kommutativer Ring ${}R$ heißt regulär, wenn jede Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {m}}$ an einem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ regulär ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein regulärer lokaler Ring. Zeige, dass dann auch der Polynomring ${}R[X]$ regulär ist.

Aufgabe

Es sei ${}(R,{\mathfrak {m}})$ ein noetherscher lokaler Integritätsbereich und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Der ${}R/{\mathfrak {m}}$- Vektorraum ${}M/{\mathfrak {m}}M$ und der ${}Q(R)$ Vektorraum ${}M\otimes _{R}Q(R)$ habe die gleiche Dimension ${}d$. Zeige, dass ${}M$ ein freier Modul vom Rang ${}d$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl und

${}K=\mathbb {Z} /(p)(U)\subseteq R=K[Y]/{\left(Y^{p}-U\right)}\,.$

Zeige, dass ${}R\cong K(Y)$ ist, dass ${}R$ regulär ist und dass der Modul der Kähler-Differentiale ${}\Omega _{R{|}K}$ nicht frei ist.

Aufgabe

Betrachte die Körpererweiterung

${}\mathbb {Z} /(p)\subseteq \mathbb {Z} /(p)(X)\subseteq {\left(\mathbb {Z} /(p)(X)\right)}[Y]/{\left(Y^{p}-X\right)}\,$

zu einer Primzahl ${}p$.

1. Zeige, dass die hintere Körpererweiterung endlich, aber nicht separabel ist.
2. Zeige, dass ${}\{X\}$ eine Transzendenzbasis der Gesamterweiterung, aber keine separierende Transzendenzbasis ist.
3. Finde eine separierende Transzendenzbasis für die Gesamterweiterung.