Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 21

Aufgabe

Zeige, dass zu  $P\in V(X^a-Y^b)$  mit  $a,b\ge 2$  und teilerfremd der lokale Ring $(K[X,Y{]}_{{𝔪}_P})/(X^a-Y^b)$ für  $P=(0,0)$  nicht regulär ist und für alle anderen Punkte regulär ist. Man gebe für  $P=(1,1)$  einen Erzeuger des maximalen Ideals an.

Aufgabe

Es sei  $M\subseteq \mathbb{N}$  ein numerisches Monoid, das von teilerfremden Erzeugern erzeugt werde, es sei $K[M]$ der Monoidring zu $M$ über einem Körper $K$ und es sei

$R=K[M{]}_{𝔪}$

die Lokalisierung am maximalen Ideal  $𝔪=K[M_{+}]=⟨T^m,m\in M⟩$.  Zeige, dass $R$ allein im Fall  $M=\mathbb{N}$  ein diskreter Bewertungsring ist.

Aufgabe *

Es sei $R$ ein diskreter Bewertungsring mit Quotientenkörper $Q$. Zeige, dass es keinen echten Zwischenring zwischen $R$ und $Q$ gibt.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $K(T)$ der Körper der rationalen Funktionen über $K$. Finde einen diskreten Bewertungsring  $R\subseteq K(T)$  mit  $Q(R)=K(T)$  und mit  $R\cap K[T]=K$. 

Aufgabe *

Es sei  $P\in C=V(F)\subset {𝔸}_K^2$  ein glatter Punkt einer ebenen irreduziblen Kurve. Zeige, dass der zugehörige lokale Ring ein diskreter Bewertungsring ist.

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper und sei

$\nu :(K^{\times },\cdot ,1)⟶(\mathbb{Z},+,0)$

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit  $\nu (f+g)\ge min\{\nu (f),\nu (g)\}$  für alle  $f,g\in K^{\times }$.  Zeige, dass

$R=\{f\in K^{\times }\mid \nu (f)\ge 0\}\cup \{0\}$

ein diskreter Bewertungsring ist.

Aufgabe

Es sei $R$ ein diskreter Bewertungsring und sei  $𝔪=(\pi )$.  Es sei  $K=R/(\pi )$  der Restklassenkörper von $R$. Zeige, dass es für jedes  $n\in \mathbb{N}$  einen $R$-Modulisomorphismus

$({\pi }^n)/({\pi }^{n+1})⟶K$

gibt.

Aufgabe

Sei  $R=K[X,Y,Z{]}_{(X,Y,Z)}$.  Bestimme mithilfe von Lemma 21.4, ob die folgenden Restklassenringe $R/(f_1,\dots ,f_n)$ regulär sind (und von welcher Dimension).

1.  $f_1=0$. 
2.  $f_1=X+3Y+Z^7-XY{Z}^2$. 
3.  $f_1=XY+X^2-Y^3$. 
4.  $f_1=X+Y^3$  und  $f_2=X+Z^5$. 
5.  $f_1=2X-3Y+Y^{2}Z-XYZ$  und  $f_2=X+Z^4-Y^{17}$. 
6.  $f_1=2X-5Y+Z+XY-Z^3$,   $f_2=X-3Y+Z+X^2{Y}^2{Z}^2$  und  $f_3=-3X+Z-Z^2-XY{Z}^2$. 

Aufgabe

Es sei $R$ ein lokaler regulärer Ring der Dimension $d$ mit maximalem Ideal  $𝔪=(x_1,\dots ,x_d)$.  Zeige, dass

$x^{\alpha }=x_1^{{\alpha }_1}\cdots x_d^{{\alpha }_d}=x_1^{{\beta }_1}\cdots x_d^{{\beta }_d}=x^{\beta }$

nur bei  $\alpha =\beta$  gilt.

Aufgabe

Bestimme ein minimales Erzeugendensystem für das maximale Ideal im lokalen Ring zum Punkt

$(1,0,0,1)\in V(XY-UV)\subseteq {𝔸}_K^4.$

Aufgabe

Es sei  $V=V(𝔞)\subseteq {𝔸}_K^n$  eine affin-algebraische Menge und  $P\in V$  ein Punkt, in dem $V$ die Dimension $d$ besitzt. Es sei ${𝒪}_P$ der lokale Ring zu $P$. Zeige, dass ${𝒪}_P$ genau dann ein regulärer Ring ist, wenn es einen $(n-d)$-dimensionalen linearen Raum  $L=V(𝔟)\subseteq {𝔸}_K^n$  derart gibt, dass im lokalen Ring die Beziehung

$𝔞+𝔟={𝔪}_P$

gilt.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $K[X_1,\dots ,X_n]$ der Polynomring über $K$. Zeige durch Induktion über $n$, dass jedes maximale Ideal in $K[X_1,\dots ,X_n]$ von $n$ Elementen erzeugt wird.

Ein noetherscher kommutativer Ring $R$ heißt regulär, wenn jede Lokalisierung $R_{𝔪}$ an einem maximalen Ideal $𝔪$ regulär ist.

Aufgabe

Es sei $R$ ein regulärer lokaler Ring. Zeige, dass dann auch der Polynomring $R[X]$ regulär ist.

Aufgabe

Es sei $(R,𝔪)$ ein noetherscher lokaler Integritätsbereich und $M$ ein $R$-Modul. Der $R/𝔪$-Vektorraum $M/𝔪M$ und der $Q(R)$ Vektorraum $M{\otimes }_{R}Q(R)$ habe die gleiche Dimension $d$. Zeige, dass $M$ ein freier Modul vom Rang $d$ ist.

Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl und

$K=\mathbb{Z}/(p)(U)\subseteq R=K[Y]/(Y^p-U).$

Zeige, dass  $R\cong K(Y)$  ist, dass $R$ regulär ist und dass der Modul der Kähler-Differentiale ${\mathrm{\Omega }}_{R/K}$ nicht frei ist.

Aufgabe

Betrachte die Körpererweiterung

$\mathbb{Z}/(p)\subseteq \mathbb{Z}/(p)(X)\subseteq (\mathbb{Z}/(p)(X))[Y]/(Y^p-X)$

zu einer Primzahl $p$.

1. Zeige, dass die hintere Körpererweiterung endlich, aber nicht separabel ist.
2. Zeige, dass $\{X\}$ eine Transzendenzbasis der Gesamterweiterung, aber keine separierende Transzendenzbasis ist.
3. Finde eine separierende Transzendenzbasis für die Gesamterweiterung.