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Kurs:Statistik für Anwender/Weitere diskrete Zufallsvariablen

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Weitere diskrete ZV

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Die nachfolgenden ZV werden hier kurz vorgestellt. Selbstverständlich können auch für die Parameter dieser Verteilungen Punkt- und Intervallschätzungen vorgenommen werden, es soll hier jedoch nicht weiter darauf eingegangen werden.

Poisson-verteilte ZV

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Die Zufallsvariable heißt Poisson-verteilt mit der durch Beobachtung zu erwartenden Ereignishäufigkeit , wenn ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion gegeben ist durch

für .

Die Poissonverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit für die Anzahl von Ereignissen an, die unabhängig voneinander in einem räumlichen Gebiet oder zeitlichen Intervall auftreten. Ist Poisson-verteilt mit Parameter , so gilt

und


Beispiel 1

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Mit (blau), (grün) und (rot).

image

Rekursionformel

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Für die Poissonverteilung gilt die Rekursionsformel

für und es gilt .

Es folgt wie zuvor für

und für
.

Kumulierte Verteilung

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Da bei der Poissonverteilung jedoch theoretisch gesehen unendlich viele Ereignisse in dem betrachteten Intervall auftreten können, wird die kumulierte Verteilung für mittels einer unendlichen Summe dargestellt:

Anmerkung 1

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Dennoch gilt die Normierbarkeit, da die Wahrschienlichkeiten für abnehmen und sich beliebig nahe an die annähern. Somit liegt zwar eine unendliche Summe vor, diese konvergiert jedoch, d.h. hat einen endlichen Wert, nämlich

Beispiel 2.1

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An einer radioaktiven Probe aus Uran werden pro Sekunde im Mittel Zerfälle gemessen. Die Zufallsvariable , welche die Anzahl der Zerfälle pro Sekunde angibt, ist somit Poissonverteilt und es ergibt sich die folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung:

Daraus resultieren die folgenden Wahrscheinlichkeiten für :

Beispiel 2.2

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Kommentar: , andere Zerfälle sind auch möglich, aber die Wahrscheinlichkeiten sind so gering, dass sie nicht weiter aufgeführt werden.

Anmerkung 2

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Die Poissonverteilung stellt den Grenzwert für eine binomialverteilte ZV mit unendlich vielen Versuchen dar.

Aufgabe 1

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Gegeben sei eine Poissonverteilte ZV mit . Bestimmen Sie Erwartungswert, Varianz und die folgenden Wahrscheinlichkeiten:

Geometrisch verteilte ZV

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Zufallsexperimente mit geometrisch verteilten ZV können als Spezialfälle binomialverteilter ZV betrachtet werden, wobei hier zwischen zwei Varianten unterschieden wird:

  1. Durchführen eines binomialverteilten Zufallsexperiemnt, bis ein "Treffer "
    erzielt wird und die ZV gibt die Anzahl der Versuche an.
  2. Durchführen eines binomailverteilten Zufallsexperiment, bis ein "Treffer"erzielt wird und die ZV gibt die Anzahl der Fehlversuche an.

Beispiel 1

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Zu Fall 1 (Anzahl der Versuche) mit (blau), (grün) und (rot).

image

Beispiel 2

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Zu Fall 2 (Anzahl der Fehlversuche) mit (blau), (grün) und (rot).
image

Zusammenhang zwischen den Varianten

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Die beiden Varianten stehen in der Beziehung .


Somit ergeben sich die beiden folgenden Formeln für die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit:

Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten für X

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Für die ZV gilt:




Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten für Y

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Für die ZV gilt:




Beispiel 3

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Werfen einer Münze bis zum Eintreten von Kopf.





In R wird die zweite Varainte betrachtet, welche die Anzahl der Fehlversuche zählt, https://stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/library/stats/html/Geometric.html

Aufgabe 2

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Gegeben Sei die geometrisch verteilte ZV mit . Bestimmen Sie Erwartungswert, Varianz und die folgenden Wahrscheinlichkeiten (Variante 2):

Seiteninformation

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