Kurs:Statistik für Anwender/Weitere diskrete Zufallsvariablen

Weitere diskrete ZV

Die nachfolgenden ZV werden hier kurz vorgestellt. Selbstverständlich können auch für die Parameter dieser Verteilungen Punkt- und Intervallschätzungen vorgenommen werden, es soll hier jedoch nicht weiter darauf eingegangen werden.

Poisson-verteilte ZV

Die Zufallsvariable ${\textstyle X}$ heißt Poisson-verteilt mit der durch Beobachtung zu erwartenden Ereignishäufigkeit ${\textstyle \lambda }$ , wenn ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion gegeben ist durch

$$P(X=x)={\frac {\lambda ^{x}}{x!}}e^{-\lambda }$$

für ${\textstyle x\in \mathbb {N} }$.

Die Poissonverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit für die Anzahl von Ereignissen an, die unabhängig voneinander in einem räumlichen Gebiet oder zeitlichen Intervall auftreten. Ist ${\textstyle X}$ Poisson-verteilt mit Parameter ${\textstyle \lambda }$, so gilt

$$E(X)=\lambda$$

und

$$Var(X)=\lambda$$

Beispiel 1

Mit ${\textstyle \lambda =1}$ (blau), ${\textstyle \lambda =5}$ (grün) und ${\textstyle \lambda =10}$ (rot).

Rekursionformel

Für die Poissonverteilung gilt die Rekursionsformel

$$P(X=x)={\frac {\lambda }{k}}\cdot P(X=x-1)$$

für ${\textstyle x\in \mathbb {N} \setminus \{0\}}$ und es gilt ${\textstyle P(X=0)=e^{-\lambda }}$.

Es folgt wie zuvor für

$$P(X\leq x)=\sum \limits _{j=0}^{x}{\frac {\lambda ^{j}}{j!}}e^{-\lambda }$$

und für

$$P(x\leq X\leq \ell )=\sum \limits _{j=x}^{\ell }{\frac {\lambda ^{j}}{j!}}e^{-\lambda }$$

.

Kumulierte Verteilung

Da bei der Poissonverteilung jedoch theoretisch gesehen unendlich viele Ereignisse in dem betrachteten Intervall auftreten können, wird die kumulierte Verteilung für ${\textstyle P(X\geq x)}$ mittels einer unendlichen Summe dargestellt:

$$P(X\geq x)=\sum \limits _{j=x}^{\infty }{\frac {\lambda ^{j}}{j!}}e^{-\lambda }.$$

Anmerkung 1

Dennoch gilt die Normierbarkeit, da die Wahrschienlichkeiten für ${\textstyle x>\lambda }$ abnehmen und sich beliebig nahe an die ${\textstyle 0}$ annähern. Somit liegt zwar eine unendliche Summe vor, diese konvergiert jedoch, d.h. hat einen endlichen Wert, nämlich

$$P(x\in \Omega )=\sum _{x=0}^{\infty }P(X=x)=1$$

Beispiel 2.1

An einer radioaktiven Probe aus Uran werden pro Sekunde im Mittel ${\textstyle \lambda =4.5}$ Zerfälle gemessen. Die Zufallsvariable ${\textstyle X}$, welche die Anzahl der Zerfälle pro Sekunde angibt, ist somit Poissonverteilt und es ergibt sich die folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung:

$$P(X=x)={\frac {4.5^{x}}{x!}}e^{-4.5}$$

Daraus resultieren die folgenden Wahrscheinlichkeiten für ${\textstyle x=0,...10}$:

$${\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\\hline P(X=x)&0.0111&0.05&0.1125&0.1687&0.1898&0.1708&0.1281&0.0824&0.0463&0.0232&0.0104\\\hline \end{array}}$$

Beispiel 2.2

$$P(X\geq 3)=0.8264$$

$$P(X\leq 5)=0.7029$$

$$P(3\leq X\leq 6)=0.6574$$

Kommentar: ${\textstyle \sum _{x=0}^{10}P(X=x)=0.9928}$, andere Zerfälle sind auch möglich, aber die Wahrscheinlichkeiten sind so gering, dass sie nicht weiter aufgeführt werden.

In R

$${\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline {\text{In}}\\\color {blue}{\text{R:}}&\quad \color {blue}{{\text{dpois(}}x,\lambda )}&{\text{ergibt:}}&P(X=x)&=&{\frac {\lambda ^{x}}{x!}}e^{-\lambda }\\\hline \\&\quad \color {blue}{{\text{ppois(}}x,\lambda )}&{\text{ergibt:}}&P(X\leq x)&=&\sum \limits _{j=0}^{x}{\frac {\lambda ^{j}}{j!}}e^{-\lambda }\\\hline \\&\quad \color {blue}{1-{\text{ppois(}}x-1,\lambda )}&{\text{ergibt:}}&P(X\geq x)&=&\sum \limits _{j=x}^{\infty }{\frac {\lambda ^{j}}{j!}}e^{-\lambda }\\\hline \\&\quad \color {blue}{{\text{ppois(}}\ell ,\lambda )-{\text{ppois(}}x-1,\lambda )}&{\text{ergibt:}}&P(k\leq T\leq \ell )&=&\sum \limits _{j=x}^{\ell }{\frac {\lambda ^{j}}{j!}}e^{-\lambda }\\\hline \end{array}}$$

Anmerkung 2

Die Poissonverteilung stellt den Grenzwert für eine binomialverteilte ZV mit unendlich vielen Versuchen dar.

Aufgabe 1

Gegeben sei eine Poissonverteilte ZV ${\textstyle P}$ mit ${\textstyle \lambda =17}$. Bestimmen Sie Erwartungswert, Varianz und die folgenden Wahrscheinlichkeiten:

1. ${\textstyle P(P=17)}$
2. ${\textstyle P(P\leq 20)}$
3. ${\textstyle P(5\leq P\leq 15)}$
4. ${\textstyle P(15\leq P\leq 19)}$
5. ${\textstyle P(P\geq 8)}$

Geometrisch verteilte ZV

Zufallsexperimente mit geometrisch verteilten ZV können als Spezialfälle binomialverteilter ZV betrachtet werden, wobei hier zwischen zwei Varianten unterschieden wird:

1. Durchführen eines binomialverteilten Zufallsexperiemnt, bis ein "Treffer "
   erzielt wird und die ZV ${\textstyle X}$ gibt die Anzahl der Versuche an.
2. Durchführen eines binomailverteilten Zufallsexperiment, bis ein "Treffer"erzielt wird und die ZV ${\textstyle Y}$ gibt die Anzahl der Fehlversuche an.

Beispiel 1

Zu Fall 1 (Anzahl der Versuche) mit ${\textstyle p=0.2}$ (blau), ${\textstyle p=0.5}$ (grün) und ${\textstyle p=0.8}$ (rot).

Beispiel 2

Zu Fall 2 (Anzahl der Fehlversuche) mit ${\textstyle p=0.2}$ (blau), ${\textstyle p=0.5}$ (grün) und ${\textstyle p=0.8}$ (rot).

Zusammenhang zwischen den Varianten

Die beiden Varianten stehen in der Beziehung ${\textstyle X=Y+1}$.

Somit ergeben sich die beiden folgenden Formeln für die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit:

Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten für X

Für die ZV ${\textstyle X}$ gilt:

$$P(X=n)=p\cdot (1-p)^{n-1}\quad (n=1,2,...)$$

$$P(X\leq n)=\sum _{i=1}^{n}p\cdot (1-p)^{i-1}=1-(1-p)^{n}$$

$$P(X\geq n)=\sum _{i=n}^{\infty }p\cdot (1-p)^{i-1}=1-(1-(1-p)^{n})=(1-p)^{n-1}$$

$$E(X)={\frac {1}{p}}$$

$$Var(X)={\frac {1-p}{p^{2}}}$$

Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten für Y

Für die ZV ${\textstyle Y}$ gilt:

$$P(Y=n)=p\cdot (1-p)^{n}\quad (n=0,1,2,...)$$

$$P(Y\leq n)=\sum _{i=1}^{n}p\cdot (1-p)^{i}=1-(1-p)^{n+1}$$

$$P(Y\geq n)=\sum _{i=n}^{\infty }p\cdot (1-p)^{i}=1-(1-(1-p)^{n+1})=(1-p)^{n}$$

$$E(Y)={\frac {1-p}{p}}$$

$$Var(Y)=Var(X)$$

Beispiel 3

Werfen einer Münze bis zum Eintreten von Kopf.

$$P(X\leq 3)=0.875$$

$$P(Y\leq 3)=0.9375$$

$$P(X=5)=0.0313$$

$$P(Y=5)=0.0156$$

In R

$${\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline {\text{In}}\\\color {blue}{\text{R:}}&\quad \color {blue}{{\text{dgeom(}}n,p)}&{\text{ergibt:}}&P(Y=n)&=&p\cdot (1-p)^{n-1}\\\hline \\&\quad \color {blue}{{\text{pgeom(}}n,p)}&{\text{ergibt:}}&P(Y\leq n)&=&p\cdot \sum \limits _{i=1}^{n}(1-p)^{i-1}\\\hline \\&\quad \color {blue}{1-{\text{pgeom(}}n-1,p)}&{\text{ergibt:}}&P(Y\geq n)&=&p\cdot \sum \limits _{i=n}^{\infty }(1-p)^{i-1}\\\hline \\&\quad \color {blue}{{\text{pgeom(}}\ell ,p)-{\text{pgeom(}}n-1,p)}&{\text{ergibt:}}&P(n\leq Y\leq \ell )&=&p\cdot \sum \limits _{i=n}^{\ell }(1-p)^{i-1}\\\hline \end{array}}$$

In R wird die zweite Varainte betrachtet, welche die Anzahl der Fehlversuche zählt, https://stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/library/stats/html/Geometric.html

Aufgabe 2

Gegeben Sei die geometrisch verteilte ZV ${\textstyle G}$ mit ${\textstyle p=0.7}$. Bestimmen Sie Erwartungswert, Varianz und die folgenden Wahrscheinlichkeiten (Variante 2):

1. ${\textstyle P(G=7)}$
2. ${\textstyle P(G\leq 14)}$
3. ${\textstyle P(2\leq G\leq 5)}$
4. ${\textstyle P(8\leq G\leq 17)}$
5. ${\textstyle P(G\geq 4)}$

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