Kurs:Stochastik/Approximation Binomialverteilung

Approximation der Binominalverteilung

Für große $n$ sind Wahrscheinlichkeiten, die nicht mit der $B(n,p)$ -Verteilung verknüpft sind, größenordnungsmäßig schlecht zu erfassen und umständlich zu berechnen. In diesem Abschnitt soll die Binomialverteilung einerseits durch die Standardnormalverteilung approximiert werden und andererseits bei konvergentem $\lim _{n\to \infty }n\cdot p_{n}=\lambda$ die Approximation durch die Poissonverteilung untersucht werden.

Hilfssatz

Es gilt:

\int _{-\infty }^{\infty }\phi (x)dx=1

mit der Standard-Normalenverteilung $\phi$ .

Beweis

(\int _{-\infty }^{\infty }e^{\frac {-t^{2}}{2}}dt)^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{\frac {-x^{2}}{2}}e^{\frac {-y^{2}}{2}}dxdy=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{\frac {-(x^{2}+y^{2})}{2}}dxdy

=\int _{-\infty }^{2\pi }\int _{-\infty }^{\infty }e^{\frac {-r^{2}}{2}}rdrd\theta =2\pi \int _{0}^{\infty }e^{\frac {-r^{2}}{2}}rdr=2\pi

Ferner definieren wir die sogenannte Verteilungsfunktion $\Phi$ der Standardnormalenverteilung:

\Phi (x)=\int _{\infty }^{x}\phi (t)dt,x\in \mathbb {R}

Polarkoordinatentransformation

x=r\cdot cos\theta ,y=r\cdot sin\theta ,y^{2}+x^{2}=r^{2}

|det{\begin{pmatrix}cos\theta &-r\cdot sin\theta \\sin\theta &r\cdot cos\theta \end{pmatrix}}|=r(sin^{2}\theta +cos^{2}\theta )=r

Satz (DeMoivre-Laplace)

Ist $X^{(n)}$ $B(n,p)$ -verteilt, $0<p<1$ , so gilt mit der Standardisierten $X_{n}^{k}={\frac {X^{(n)}-np}{\sqrt {np(1-p)}}}$

P(a\leq X_{n}^{*}\leq b)\to ^{n\to \infty }\int _{a}^{b}\phi (x)dx=\Phi (b)-\Phi (a).

Vorüberlegung

Sei $X^{(n)}$ $B(n,p)$ -verteilt, $0<p<1$ . Wegen $EX^{(n)}=np$ und $Var(X^{(n)})=np(1-p)$ läuft die Verteilung für wachsendes $n$ einerseits nach rechts, anderseits 'verläuft' sie auch in die Breite. Wir bilden deshalb die Standardisierte von $X^{(n)}$ , d.h. $X_{n}={\frac {X^{(n)}-np}{\sqrt {np(1-p)}}}$ .

Die Verteilung von $X_{n}$ liegt 'glockenförmig' um 0, allerdings in 'diskreter Form'. Um die ideale 'Glockenforn' analytisch zu beschreiben, führen wir die Funktion $\phi (X)$ ein:

\phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},x\in \mathbb {R}

Beweis

Der Satz ist ein Spezialfall des sogenannten zentralen Grenzwertsatzes (später).

Bemerkungen

1. Insbesondere gilt: $P(X_{n}^{*}\leq b){\stackrel {n\to \infty }{\to }}\Phi (b),P(X_{n}^{*}\geq a){\stackrel {n\to \infty }{\to }}1-\Phi (b)=\Phi (-a)$

2. Zur approximativen Berechnung der Wahrscheinlichkeit von $k\leq X^{(n)}\leq l$ geht man wie folgt vor:

Bilde $a={\frac {k-np}{\sqrt {np(1-p)}}},b={\frac {l-np}{\sqrt {np(1-p)}}};(a\equiv a_{n},b\equiv b_{n})$ , dann

P(E_{1})=P(k\leq X^{(n)}\leq l)=P(a\leq X_{n}^{*}\leq b)=P(E_{2})\approx \Phi (b)-\Phi (a)

mit $E_{1},E_{2}$ gleiche Ereignisse, und wenn $n$ groß genug ist. (Faustregel: $np(1-p)\geq 10$ )

3. Für kleine $n$ ist noch eine sogenannte Stetigkeitskorrektur nützlich:

a={\frac {k-np-{\frac {1}{2}}}{\sqrt {np(1-p)}}},b={\frac {l-np+{\frac {1}{2}}}{\sqrt {np(1-p)}}}

Beispiel

Ein Medikament heilt einen Patienten mit der Wahrscheinlichkeit $p=0,8$ . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter $n=1000$ Patienten (denen das Medikament verabreicht wird) mindestens $k=780$ Patienten geheilt werden?

Poissonscher Grenzwertsatz

Ist $p_{n},n\leq 1$ , eine Folge $\in (0,1)$ mit

(*) $lim_{n\to \infty }np_{n}=\lambda >0,$

so gilt

lim_{n\to \infty }b(k;n,p_{n})={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda },k\in \mathbb {Z} .

Beispiel

$2\%$ der Bevölkerung haben eine bestimmte Krankheit. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter $100$ Personen (zufällig herausgegriffen) mindestens $3$ diese Krankheit haben?

a) $X$ binominalverteilt, $B(100,0,02)$ -Verteilung

b) $X$ poissonverteilt, $P(2)$ -Verteilung

Siehe auch